Another Explanation (5): সমাধান:
প্রদত্ত জটিল সংখ্যা: \( z = 1 + \sqrt{3}i \)
ধাপ ১: মডুলাস নির্ণয়
মডুলাস (অর্থাৎ, |z|) নির্ণ???় করার জন্য:
\[
|z| = \sqrt{(\text{আসন্ন বাস্তব অংশ})^2 + (\text{আসন্ন কাল্পনিক অংশ})^2}
\]
এখানে, বাস্তব অংশ = 1, কাল্পনিক অংশ = \(\sqrt{3}\):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
\]
অতএব, মডুলাস = 2, যা উপযুক্ত। (বৈধ)
ধাপ ২: আর্গুমেন্ট নির্ণয়
আর্গুমেন্ট \(\theta\) নির্ণয় করতে:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{কাল্পনিক অংশ}}{\text{বাস্তব অংশ}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)
\]
এখানে,
\[
\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}
\]
অতএব, আর্গুমেন্ট = \(\frac{\pi}{3}\), যা সঠিক।
ধাপ ৩: অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা নির্ণয়
অনারম্ভজনকভাবে,
\[
z = r(\cos \theta + i \sin \theta)
\]
এখানে, \( r = 2 \), \(\theta = \frac{\pi}{3}\):
\[
z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)
\]
\[
\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
অতএব,
\[
z = 2 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i \sqrt{3}
\]
প্রশ্নে উল্লেখিত অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা: \(-1 + \sqrt{3}i\)
এটি আমাদের মূল সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
**সুতরাং, উপরে উল্লেখিত তিনটি ধাপের মধ্যে:**
- মডুলাস: **সঠিক** (2)
- আর্গুমেন্ট: **সঠিক** (\(\pi/3\))
- অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা: **সঠিক নয়** (সঠিক অনুবন্ধী সং???্যা হওয়া উচিত \(1 + \sqrt{3}i\))
**উত্তর অনুযায়ী:**
"i ও ii" সঠিক।
উপসংহার:
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: i ও ii.
