একটি বস্তুকণা খাড়া উপরের দিকে প্রক্ষেপ করলে নির্দিষ্ট বিন্দু P তে পৌঁছাতে t1 সময় লাগে।যদি আরও t1 সময় পর বস্তুটি ভূমিতে পতিত হয় তবে কণাটির সর্বোচ্চ উচ্চতা কত?

ধরি, বস্তুকণাটি খাড়া উপরে প্রক্ষেপিত হয়েছে।

সমস্যাটিকে বোঝার জন্য ধরা যাক:

• প্রক্ষেপণের সময়: \( t_1 \)
• বস্তুটি নির্দিষ্ট বিন্দু P তে পৌঁছাতে সময়: \( t_1 \)
• বস্তুকণাটি আবার ভূমিতে পতিত হয়, যার জন্য অতিরিক্ত সময়: \( t_2 \)

অর্থাৎ, মোট সময় যা বস্তুকণাটি সর্বোচ্চ উচ্চতা থেকে ভূমিতে পতিত হতে লাগে, তা হলো:

\( T = t_1 + t_2 \)

প্রথমত, চলুন বস্তুকণাটির গতি ও উচ্চতা নির্ণয় করি।

ধাপ ১: প্রাথমিক গতিবেগ

বস্তুকণাটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর সময়:

\( t_1 \)

প্রাথমিক গতি \( u \) থেকে নির্ণয় করি।

উচ্চতা \( H \) পর্যন্ত পৌঁছাতে বস্তুকণার গতি শূন্য হয়।

এবং, গতি ও উচ্চতার সম্পর্ক:

\( u = g t_1 \)

এবং, উচ্চতা:

\( H = \frac{1}{2} g t_1^2 \)

ধাপ ২: পতনের জন্য মোট সময় ও উচ্চতা

বস্তুকণাটি পুনরায় ভূমিতে পতিত হলে, এর জন্য পর্যবেক্ষণ করি।

বস্তুকণাটির সর্বোচ্চ উচ্চতা থেকে পতনের জন্য, তা একই \( H \) উচ্চতায় থাকে।

পতনের জন্য সময় \( t_2 \):

\( t_2 = \sqrt{\frac{2 H}{g}} \)

অর্থাৎ,

\( t_2 = \sqrt{\frac{2 \times \frac{1}{2} g t_1^2}{g}} = t_1 \)

অর্থাৎ, \( t_2 = t_1 \)

সুতরাং, মোট সময়:

\( T = t_1 + t_2 = t_1 + t_1 = 2 t_1 \)

ধাপ ৩: উচ্চতা নির্ণয়

উচ্চতা \( H \):

\( H = \frac{1}{2} g t_1^2 \)

এবং, মোট সময় \( T \):

\( T = 2 t_1 \)

অতএব,

উচ্চতা \( H \) কে \( T \) এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে:

\( t_1 = \frac{T}{2} \)

অতএব,

\( H = \frac{1}{2} g \left( \frac{T}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{T^2}{4} = \frac{g T^2}{8} \)

উত্তর:

সর্বোচ্চ উচ্চতা:

\( H = \frac{1}{8} g (t_1 + t_2)^2 \)