Another Explanation (5):
বৃত্তের স্পর্শকরেখার সমীকরণ নির্ণয়
প্রশ্ন:
প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 = b(5x - 12y)\) বৃত্তে অংকিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; মূলবিন্দুতে স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তর:
চলুন, সমাধান ধাপে ধাপে করি।
ধাপ ১: বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ প্রাপ্তি
দেওয়া হয়েছে:
\[
x^2 + y^2 = b(5x - 12y)
\]
এখানে, বৃত্তের কেন্দ্রীয় বিন্দু ও ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। প্রথমে সমীকরণকে সাধারণ আকারে রূপান্তর করি:
ধাপ ২: সমীকরণকে সাধারণ আকারে রূপান্তর
সমীকরণে বর্গমূল সমীকরণে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 5b x + y^2 + 12b y = 0
\]
সম্পূর্ণ বর্গ করার জন্য, \(\ x \) ও \(\ y \) জন্য যোগ করি ও বিয়োগ করি:
ধাপ ৩: সম্পূর্ণ বর্গীকরণ
\[
x^2 - 5b x + \left(\frac{5b}{2}\right)^2 - \left(\frac{5b}{2}\right)^2 + y^2 + 12b y + (6b)^2 - (6b)^2 = 0
\]
এটা লিখে পাই:
\[
\left(x - \frac{5b}{2}\right)^2 + \left(y + 6b\right)^2 = \left(\frac{5b}{2}\right)^2 + (6b)^2
\]
অর্থাৎ,
\[
\left(x - \frac{5b}{2}\right)^2 + \left(y + 6b\right)^2 = \frac{25b^2}{4} + 36b^2 = \frac{25b^2 + 144b^2}{4} = \frac{169b^2}{4}
\]
সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস:
\[
\text{কেন্দ্র} = \left(\frac{5b}{2}, -6b\right), \quad \text{ব্যাসের দৈর্ঘ্য} = \sqrt{\frac{169b^2}{4}} = \frac{13b}{2}
\]
ধাপ ৪: ব্যাসের মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে
প্রশ্নে বলা হয়েছে, ব্যাসের মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। মূলবিন্দু হলো কেন্দ্রের বিন্দু, অর্থাৎ, \(\left(\frac{5b}{2}, -6b\right)\)।
এখন, এই মূলবিন্দু থেকে স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ৫: স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয়
স্পর্শকটি মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। অর্থাৎ, স্পর্শকটির সমীকরণে মূলবিন্দু অন্তর্ভুক্ত।
আমরা জানি, স্পর্শকটির সমীকরণ সাধারণত:
\[
y = m x + c
\]
এবং স্পর্শকটি মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে, তাই:
\[
y = m x + c \quad \text{এবং} \quad (x, y) = \left(\frac{5b}{2}, -6b\right)
\]
অর্থাৎ,
\[
-6b = m \left(\frac{5b}{2}\right) + c
\]
এবং স্পর্শকটি বৃত্তের টাচ পয়েন্ট হওয়ায়, এই রেখা বৃত্তের সাথে টাচ করবে। স্পর্শক রৈখিক সমীকরণের জন্য, বৃত্তের কেন্দ্র ও স্পর্শক রেখার মধ্যে দূরত্ব ব্যাসের অর্ধেকের সমান হবে।
দূরত্ব সূত্র:
\[
\text{Distance} = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
স্পর্শক রেখার সমীকরণ:
\[
y = m x + c \Rightarrow m x - y + c = 0
\]
এখানে, \(A = m, B = -1, C = c\)
সুতরাং, দূরত্ব:
\[
d = \frac{|m x_0 - y_0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}
\]
এবং, এই দূরত্ব ব্যাসের অর্ধেকের সমান:
\[
d = \frac{13b}{4}
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
x_0 = \frac{5b}{2}, \quad y_0 = -6b
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{|m \cdot \frac{5b}{2} - (-6b) + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{13b}{4}
\]
এখন, এই সমীকরণে \(c\) এর মান নির্ণয় করি। প্রথমে, \(c\) এর মান নির্ণয় করতে, মূলবিন্দু দিয়ে স্পর্শকটি অতিক্রম করে বলে জানি:
\[
-6b = m \cdot \frac{5b}{2} + c \Rightarrow c = -6b - \frac{5b}{2} m
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
\frac{\left| m \cdot \frac{5b}{2} - (-6b) + c \right|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{13b}{4}
\]
\[
\Rightarrow \frac{\left| m \cdot \frac{5b}{2} + 6b + c \right|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{13b}{4}
\]
অর্থাৎ,
\[
\left| \frac{5b}{2} m + 6b + c \right| = \frac{13b}{4} \sqrt{m^2 + 1}
\]
পরিবর্তে, \( c = -6b - \frac{5b}{2} m \):
\[
\left| \frac{5b}{2} m + 6b - 6b - \frac{5b}{2} m \right| = \frac{13b}{4} \sqrt{m^2 + 1}
\]
এখানে, অভ্যন্তরীণ অংশটি হয়:
\[
\left| 0 \right| = \frac{13b}{4} \sqrt{m^2 + 1}
\]
অর্থাৎ, শূণ্য। এই পরিস্থিতিতে, সমাধান হবে যখন \(m\) এর মান নির্ণয় করা হয়। তবে, এই পথটি দীর্ঘ এবং জটিল। সহজ উপায় হলো, মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এমন স্পর্শকটির সমীকরণ সরাসরি নির্ণয় করা।
অতএব, গুরুত্বপূর্ণভাবে লক্ষ্য করি, মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এমন স্পর্শকটির সমীকরণে, \(x\) ও \(y\) এর ওপর নির্ভর করে, মূলবিন্দুতে স্পর্শক রেখার সমীকরণটি নির্ণয় করতে হবে।
সুতরাং, মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এমন স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় করি। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এমন রেখার সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{5x - 12y = 0}
\]
এটি মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এমন স্পর্শকটির সমীকরণ।
উত্তর:
\(\boxed{5x - 12y = 0}\)
