\( \sqrt{i}+\sqrt{-i} \) এর মান কোনটি?
সঠিক উত্তরঃ
C.
\( \pm\sqrt{2} \)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \sqrt{i} + \sqrt{-i} \) এর মান কোনটি?
উত্তর: \( \pm \sqrt{2} \)
প্রথমে, \( \sqrt{i} \) এবং \( \sqrt{-i} \) এর মান নির্ণয় করি।
ধরি, \( z = a + bi \), যেখানে \( a \) ও \( b \) বাস্তব সংখ্যা। তাহলে,
\[
z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi
\]
এখন, \( \sqrt{i} \) এর জন্য,
\[
z^2 = i \Rightarrow a^2 - b^2 + 2abi = 0 + 1i
\]
অর্থাৎ,
\[
a^2 - b^2 = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
2ab = 1 \quad \text{(2)}
\]
প্রথম সমীকরণ থেকে,
\[
a^2 = b^2 \Rightarrow a = \pm b
\]
প্রতিস্থাপন করি (2) তে:
Case 1: \( a = b \)
\[
2a \times a = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
অতএব,
\[
b = a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
তাহলে,
\[
\sqrt{i} = a + bi = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + i \times \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)
\]
এখন, \( \sqrt{i} \) এর দুইটি মান:
\[
\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \quad \text{অথবা} \quad - \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)
\]
---
Case 2: \( a = -b \)
\[
2a \times a = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
তাহলে,
\[
b = -a = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{i} = a + bi = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} - i \times \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)
\]
---
এখানে, আমরা চারটি মূল পেয়েছি। সাধারণত, মূলগুলো হল:
\[
\sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \quad \text{অথবা} \quad \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)
\]
একইভাবে, \( \sqrt{-i} \) এর জন্য, \( z^2 = -i \):
\[
z = a + bi \Rightarrow a^2 - b^2 + 2abi = 0 - 1i
\]
অর্থাৎ,
\[
a^2 - b^2 = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
2ab = -1 \quad \text{(2)}
\]
Again, from (1):
\[
a = \pm b
\]
প্রতিস্থাপন করে:
Case 1: \( a = b \)
\[
2a \times a = -1 \Rightarrow 2a^2 = -1
\]
যা অসম্ভব বাস্তব সংখ্যার জন্য। সুতরাং, এই ক্ষেত্রটি অপ্রাসঙ্গিক।
Case 2: \( a = -b \)
\[
2a \times a = -1 \Rightarrow 2a^2 = -1
\]
আবার অসম্ভব। তবে, কারণ \( z^2 = -i \) এর জন্য, মূলগুলো হল:
\[
\sqrt{-i} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) \quad \text{অথবা} \quad \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (i - 1)
\]
সাধারণত, এই মূলগুলো নেওয়া হয়:
\[
\sqrt{-i} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i)
\]
---
এখন,
\[
\sqrt{i} + \sqrt{-i} = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \right) + \left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) \right)
\]
দুটি অপশন:
1. যদি প্রথমটি \( + \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \) এবং দ্বিতীয়টি \( + \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) \):
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) + \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = \frac{\sqrt{2}}{2} ( (1 + i) + (1 - i) ) = \frac{\sqrt{2}}{2} (2) = \sqrt{2}
\]
2. যদি প্রথমটি \( - \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \) এবং দ্বিতীয়টি \( - \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) \):
\[
- \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) - \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = - \frac{\sqrt{2}}{2} ( (1 + i) + (1 - i) ) = - \frac{\sqrt{2}}{2} (2) = - \sqrt{2}
\]
অতএব, \( \sqrt{i} + \sqrt{-i} \) এর মান হল:
\[
\boxed{\pm \sqrt{2}}
\]
**উত্তর: \( \pm \sqrt{2} \)**
