Another Explanation (5):
প্রশ্ন:
প্রশ্ন: \( 3y^2=5x \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?
উত্তর:
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \( \left( \frac{5}{12}, 0 \right) \)
সমাধান:
প্রথমে, পরাবৃত্তের মান নির্ণয় করি।
- পরাবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:
\[
3y^2 = 5x
\]
এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তি, যেখানে কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করতে হবে।
- পরাবৃত্তের সাধারণ রূপ:
\[
(y - k)^2 = 4p (x - h)
\]
এখানে, কেন্দ্র \((h, k)\) এবং ফোকাস থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(p\)।
- আমাদের সমীকরণে, যদি আমরা \( y^2 \) এর সঙ্গে তুলনা করি:
\[
y^2 = \frac{5}{3}x
\]
তাহলে, এটি সমান্য রূপে লেখা যায়:
\[
y^2 = \frac{5}{3} x
\]
এবং এই সমীকরণ তুলনা করলে দেখা যায়:
\[
(y - 0)^2 = 4p (x - 0)
\]
অর্থাৎ,
\[
4p = \frac{5}{3}
\Rightarrow p = \frac{5}{12}
\]
<
- এখন, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক \((h, k)\) যেখানে:
\[
h = 0, \quad k = 0
\]
অর্থাৎ, কেন্দ্র মূলত অক্ষের অক্ষাংশে অবস্থিত।
- উপকেন্দ্রের স্থানাংক:
উপকেন্দ্রের স্থানাংক =
\[
\left( h + \frac{p}{2}, k \right)
\]
যেখানে, \( p = \frac{5}{12} \), তাই:
\[
\left( 0 + \frac{5/12}{2}, 0 \right) = \left( \frac{5}{24}, 0 \right)
\]
তবে, চূড়ান্ত উত্তর হিসেবে, মূল সমাধানে কিছু পরিবর্তন এসেছে। আসুন, আবার যাচাই করি।
প্রথমেই ভুল থাকলে, মূল সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয় করি।
সঠিক পদ্ধতি:
- পরাবৃত্তের সমীকরণ:
\[
3 y^2 = 5 x
\]
2. মূল সমীকরণের জন্য, এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তি। এর কেন্দ্র \((h, k)\) হল সমীকরণের অপ্রকাশিত।
- আমরা জানি, এই ধরনের পরাবৃত্তির সরাসরি সমীকরণ:
\[
(y - k)^2 = 4p (x - h)
\]
এবং, যেহেতু মূল সমীকরণে \(k=0\), এবং \(h=0\), তাহলে:
\[
y^2 = 4p x
\]
তাহলে,
\[
4p = \frac{5}{3}
\Rightarrow p = \frac{5}{12}
\]
3. উপকেন্দ্রের স্থানাংক:
\[
\left( h + \frac{p}{2}, k \right) = \left( 0 + \frac{5/12}{2}, 0 \right) = \left( \frac{5}{24}, 0 \right)
\]
তবে, প্রশ্নে উত্তরে উল্লেখিত স্থানাংক \( \left( \frac{5}{12}, 0 \right) \)। এটি সম্ভবত একটি ভুল বা সংশোধিত উত্তর।
অতএব, সঠিক উপকেন্দ্রের স্থানাংক হলো:
\( \boxed{\left( \frac{5}{24}, 0 \right)} \)
উপসংহার:
উপকেন্দ্রের স্থানাংক: \( \left( \frac{5}{24}, 0 \right) \)
