f(x) = sin2x, g(x) = sin²x হলে-

1. g(x)=f(x)
2. lim_(x->0)f(X)/g(X)=0 
3. int_0^(π/2)f(x)dx=1 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \(f(x) = \sin 2x\) \(g(x) = \sin^2 x\) নিচের বিকল্পসমূহ: i) \(g(x) = f(x)\) ii) \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\) iii) \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\) উত্তর: "i, iii" --- প্রথমে প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করা যাক: **অপশন (i):** \(g(x) = f(x)\)? দেখা যাক, \[ f(x) = \sin 2x \] \[ g(x) = \sin^2 x \] \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), তাই: \[ \sin 2x \neq \sin^2 x \quad \text{সুতরাং,} \quad g(x) \neq f(x) \] অর্থাৎ, অপশন (i) ভুল। --- **অপশন (ii):** \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)? পরীক্ষা করি, \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin^2 x} \] নিয়ম অনুযায়ী, \(x \to 0\), তাহলে \(\sin x \approx x\), সুতরাং: \[ \frac{\sin 2x}{\sin^2 x} \approx \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \] যখন \(x \to 0\), \(\frac{2}{x} \to \infty\), অর্থাৎ, এই সীমা অসম্পূর্ণ বা অসীম। তাই, \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty \neq 0 \] অর্থাৎ, অপশন (ii) ভুল। --- **অপশন (iii):** \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\) পরীক্ষা করি, \[ \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx \] প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান: \[ \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C \] অতএব, \[ \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi/2} \] গণনা: \[ = -\frac{1}{2} \left( \cos (\pi) - \cos 0 \right) \] \[ = -\frac{1}{2} \left( -1 - 1 \right) = -\frac{1}{2} \times (-2) = 1 \] সুতরাং, অপশন (iii) সঠিক। --- **উপসংহার:** অপশন (i) ভুল, অপশন (ii) ভুল, অপশন (iii) সঠিক। উত্তর: **"iii"**। কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া উত্তরটি "i, iii" বলে, যা ভুল। সুতরাং, সঠিক ব্যাখ্যা অনুযায়ী, শুধুমাত্র অপশন (iii) সঠিক। --- **সম্পূর্ণ সমাধান HTML এ:** ```html

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

\(f(x) = \sin 2x\)

\(g(x) = \sin^2 x\)

নিচের বিকল্পসমূহ:

1. \(g(x) = f(x)\)
2. \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)
3. \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\)

উত্তর: "i, iii"

আসুন প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করি:

অপশন (i):

\(g(x) = \sin^2 x\) এবং \(f(x) = \sin 2x\)।

তাহলে, \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), যা \(\sin^2 x\) এর সমান নয়।

অতএব, অপশন (i) ভুল.

অপশন (ii):

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin^2 x}\)

প্রতিটি \(\sin x \approx x\) যখন \(x \to 0\), তাহলে:

\(\frac{\sin 2x}{\sin^2 x} \approx \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}\)

যখন \(x \to 0\), এই মান অসীম। অতএব, সীমাটি 0 নয়।

অতএব, অপশন (ii) ভুল.

অপশন (iii):

\(\int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx\)

সমাধান:

\(\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C\)

অতএব:

\(\left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2} (-1 - 1) = 1\)

অতএব, অপশন (iii) সঠিক.

উপসংহার:

অপশন (i) ভুল, অপশন (ii) ভুল, অপশন (iii) সঠিক।

সুতরাং, সঠিক উত্তর: iii.

```