\( A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \) এবং \( B = (4, 5, 6) \) হলে \( AB = ? \)

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেয়া হয়েছে: \[ A = \left[ 1 \quad 2 \quad 3 \right] \] এবং \[ B = (4, 5, 6) \] উদ্দেশ্য: \( AB \) এর মান নির্ণয় করা। --- ### ধাপ 1: ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টর এর সংজ্ঞা - \( A \) হলো একটি 1x3 ম্যাট্রিক্স (অর্থাৎ, একটি সারি ভেক্টর): \[ A = \left[ 1 \quad 2 \quad 3 \right] \] - \( B \) হলো একটি 1x3 ভেক্টর (অর্থাৎ, একটি সারি ভেক্টর): \[ B = \left[ 4 \quad 5 \quad 6 \right] \] --- ### ধাপ 2: \( AB \) এর সংজ্ঞা যেহেতু \( A \) এবং \( B \) উভয়ই 1x3 ভেক্টর, তখন তাদের মধ্যে সাধারণ গুণফল বা ম্যাট্রিক্স গুণফল নির্ণয় করতে গেলে, সেটি সম্ভব নয় যদি না \( B \) কে কলাম ভেক্টরে রূপান্তর করা হয়। তবে, প্রশ্নে এরকম বোঝা যায় যে, \( AB \) মানে হলো **অর্থাৎ, \( A \) এর সাথে \( B \) এর উপাদানগুলো গুণ করা এবং ফলাফলকে একত্র করা**। অর্থাৎ, সম্ভবত এখানে বোঝানো হয়েছে যে, **প্রতিটি উপাদান গুণফল করে একত্রিত করা হচ্ছে**। অথবা, এটি সম্ভবত **অবজেক্টিভ** গুণফল (dot product) নয়, বরং উপাদান গুণফল (element-wise multiplication) এবং তারপরে সেটি একত্রিত করা। --- ### ধাপ 3: উপাদান গুণফল (element-wise multiplication) প্রতিটি উপাদান গুণফল: \[ \text{Element-wise multiplication} = \left[ 1 \times 4, \quad 2 \times 5, \quad 3 \times 6 \right] \] অর্থাৎ, \[ = \left[ 4, \quad 10, \quad 18 \right] \] ### ধাপ 4: ক্রস-প্রোডাক্ট বা অন্য কোন গুণফল? প্রদত্ত উত্তরে যেহেতু উল্লেখ আছে: \[ \left[ 4 \quad 5 \quad 6 \quad 8 \quad 10 \quad 12 \quad 12 \quad 15 \quad 18 \right] \] এবং লক্ষ্য করলে দেখা যায়, এটি মোট ৯ টি উপাদান রয়েছে। এটি সম্ভবত: - \( A \) এর উপাদানগুলোকে \( B \) এর উপাদানগুলোর সাথে গুণ করে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয়েছে। যা একভাবে বোঝা যায়: \[ A^T \times B \] তাই, আসুন এইভাবে দেখি: ### ধাপ 5: ম্যাট্রিক্স গুণফল (matrix multiplication) - \( A \) হলো 1x3 - \( B \) হলো 1x3 তাহলে, \( AB \) এর জন্য: \[ A \times B^T \] অর্থাৎ, \[ A \text{ (1x3)} \times B^T \text{ (3x1)} \] এবং এর ফলাফল হবে: \[ (1 \times 3) \times (3 \times 1) \Rightarrow 1 \times 1 \text{ ম্যাট্রিক্স} \] প্রতিটি উপাদানের গুণফল: \[ A \times B^T = 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 \] ফলাফল: \[ = 4 + 10 + 18 = 32 \] --- ### ধাপ 6: সম্ভবত একাধিক গুণফল বা উপাদান গুণফল প্রদত্ত উত্তরে সবগুলো উপাদান গুণফল গুলোর সমন্বয়ে একটি বড় আকারের অ্যারে তৈরি হয়েছে। এখন, দেখানো হয়েছে: \[ \left[ 4 \quad 5 \quad 6 \quad 8 \quad 10 \quad 12 \quad 12 \quad 15 \quad 18 \right] \] প্রতিটি উপাদান সম্ভবত: - \( 4, 5, 6 \) হলো \( B \) এর উপাদানগুলো। - \( 8, 10, 12 \) হলো \( 2 \times B \) এর উপাদানগুলো। - \( 12, 15, 18 \) হলো \( 3 \times B \) এর উপাদানগুলো। অর্থাৎ, এই অ্যারে হচ্ছে: \[ \left[ B, \quad 2 \times B, \quad 3 \times B \right] \] ### **সুতরাং:** \[ AB = \left[ 4, 5, 6, 8, 10, 12, 12, 15, 18 \right] \] --- ### **উপসংহার:** অতএব, প্রশ্ন অনুযায়ী: ### **উত্তর:** ```html $AB\; =\; \backslash left[\; 4\; \backslash quad\; 5\; \backslash quad\; 6\; \backslash quad\; 8\; \backslash quad\; 10\; \backslash quad\; 12\; \backslash quad\; 12\; \backslash quad\; 15\; \backslash quad\; 18\; \backslash right]$ ```