কোন শর্ত সাপেক্ষে \( ax+by = 1 \) এবং \( cx+dy = 2 \) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকবে?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে দুটি লিনিয়ার সমীকরণ \( ax+by = 1 \) এবং \( cx+dy = 2 \) দেওয়া হয়েছে এবং শর্ত চাওয়া হয়েছে যে, এই সমীকরণ দুটি সাধারণ সমাধান থাকবে কি না। সাধারণ সমাধান থাকতে হলে \( ac = bd \) হতে হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( ac = bd \): ভুল, এটি সঠিক শর্ত নয়। B. \( ac \neq bd \): সঠিক, সাধারণ সমাধান থাকে যখন এই শর্ত পূর্ণ হয়। C. \( ab = cd \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( ad \neq bc \): সঠিক, সাধারণ সমাধান থাকতে হলে এই শর্ত পূর্ণ হতে হবে। E. \( a = b = c \): ভুল, এটি সঠিক শর্ত নয়। নোট: এই প্রশ্নে দুটি সমীকরণের সাধারণ সমাধান শর্ত ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এবং সঠিক উত্তর \( ad \neq bc \) হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

দুটি সরলরেখার সাধারণ মূল থাকার শর্ত

ধরা যাক, আমাদের কাছে দুটি সরলরেখার সমীকরণ আছে:

\( ax+by = 1 \) ➡️ (1)

\( cx+dy = 2 \) ➡️ (2)

এই সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল \( (x_0, y_0) \) থাকবে, যদি \( x_0 \) এবং \( y_0 \) উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। অর্থাৎ,

\( ax_0+by_0 = 1 \)

\( cx_0+dy_0 = 2 \)

এখন, অপনয়ন পদ্ধতির মাধ্যমে \( x_0 \) এবং \( y_0 \) -এর মান নির্ণয় করি:

(1) নং সমীকরণকে \( d \) দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে \( b \) দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করি:

\( d(ax_0+by_0) - b(cx_0+dy_0) = d(1) - b(2) \)

\( adx_0+bdy_0 - bcx_0-bdy_0 = d - 2b \)

\( (ad-bc)x_0 = d - 2b \)

\( x_0 = \frac{d-2b}{ad-bc} \) ➡️ (3)

আবার, (1) নং সমীকরণকে \( c \) দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে \( a \) দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করি:

\( c(ax_0+by_0) - a(cx_0+dy_0) = c(1) - a(2) \)

\( acx_0+cby_0 - acx_0-ady_0 = c - 2a \)

\( (cb-ad)y_0 = c - 2a \)

\( y_0 = \frac{c-2a}{cb-ad} = \frac{2a-c}{ad-bc} \) ➡️ (4)

(3) এবং (4) হতে \( x_0 \) ও \( y_0 \) এর মান তখনই বাস্তব এবং সংজ্ঞায়িত হবে, যখন \( ad-bc \neq 0 \) হবে।

অতএব, \( ax+by = 1 \) এবং \( cx+dy = 2 \) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত হলো: \( ad \neq bc \).

```