Another Explanation (5): প্রশ্ন:
\( 2x^3 - 5x^2 + 6x - 1 = 0 \) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \beta, \gamma\) হলে, নিম্নলিখিত বিবরণগুলো দেওয়া হয়েছে:
i. \(\displaystyle \sum \alpha = \frac{5}{2}\)
ii. \(\displaystyle \sum \alpha \beta = -3\)
iii. \(\displaystyle \alpha \beta \gamma = -\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: "i ও iii"
---
**সমাধান:**
সমীকরণ:
\[ 2x^3 - 5x^2 + 6x - 1 = 0 \]
প্রথমে সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \beta, \gamma\) এর উপর ভিত্তি করে ভেরিয়েবল সমূহের উপর ভিত্তি করে ভেরিয়েবল যোগফল, গুণফল ইত্যাদি নির্ণয় করব।
**প্রথম ধাপ: সাধারণ ফর্মুলা**
যদি সমীকরণ হয়:
\[ a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 \]
তাহলে, মূলগুলো সম্পর্কিত:
\[
\begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \\
\displaystyle \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \\
\displaystyle \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}
\end{cases}
\]
**আমাদের ক্ষেত্রে:**
\( a=2,\, b=-5,\, c=6,\, d=-1 \)
**অতএব:**
\[
\begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} \quad \text{(প্রথম বিবরণে i টি সত্য)} \\
\displaystyle \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{6}{2} = 3 \\
\displaystyle \alpha \beta \gamma = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}
\end{cases}
\]
---
**প্রথম বিবরণ:**
\(\displaystyle \sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = \frac{5}{2}\)
এটি সঠিক।
**তাই, i টি সঠিক।**
---
**দ্বিতীয় বিবরণ:**
\(\displaystyle \sum \alpha \beta = -3\)
বলা হয়েছে \(\sum \alpha \beta\), অর্থাৎ:
\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha
\]
আমাদের পাওয়া মান:
\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 3
\]
অর্থাৎ, এটি বলছে যে:
\(\sum \alpha \beta = -3\), যা বিভ্রান্তিকর কারণ মূল সূত্র অনুযায়ী এটি \(3\), না \(-3\)।
অর্থাৎ, **দ্বিতীয় বিবরণটি ভুল।**
---
**তৃতীয় বিবরণ:**
\(\displaystyle \alpha \beta \gamma = -\frac{1}{2}\)
আমাদের মূল সূত্রে পাওয়া:
\[
\alpha \beta \gamma = \frac{1}{2}
\]
এখানে, দেওয়া মানটি \(-\frac{1}{2}\), যা ভুল।
অর্থাৎ, **তৃতীয় বিবরণটি ভুল।**
---
**সারসংক্ষেপ:**
- বিবরণ (i): সঠিক।
- বিবরণ (ii): ভুল।
- বিবরণ (iii): ভুল।
তাই, **কেবলমাত্র i (প্রথম বিবরণ) সঠিক।**
**উত্তর:**
"i ও iii" — এই উত্তরটি ভুল কারণ iii ভুল। সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে:
**"i only"**।
---
**তাই, চূড়ান্ত উত্তর:**
**"i only"**
---
**HTML কোডে উপস্থাপন:**
```html
সমাধান:
সমীকরণ: 2x3 - 5x2 + 6x - 1 = 0
মূলগুলো ঃ α, β, γ
প্রাথমিক সূত্র অনুযায়ী:
- মূলের যোগফল: α + β + γ = -b/a = -(-5)/2 = 5/2
- মূলের দ্বিগুণ গুণফল (সংখ্যা সমষ্টি): αβ + βγ + γα = c/a = 6/2 = 3
- মূলের গুণফল: αβγ = -d/a = -(-1)/2 = 1/2
তাহলে:
- ∑α = 5/2 → সঠিক
- ∑ αβ = -3 → ভুল (আসল মান 3)
- αβɤ = -1/2 → ভুল (আসল মান 1/2)
অতএব, কেবলমাত্র i সঠিক।
উত্তর: "i only"
```
