78.4m গভীর কূপে একখন্ড পাথর ফেলা হল এবং 4.23s পর পানিতে এর আঘাতের শব্দ শোনা গেল। যদি অভিকর্ষীয় ত্বরণ g = 9.8 ms^-2  হয় তবে বায়ুতে শব্দের বেগ নির্ণয় কর।

Another Explanation (5):

প্রথমে কূপে পাথর ফেলার সময় ও পানিতে আঘাতের শব্দ শোনার সময়ের ভিত্তিতে ধরি:

• পাথর ফেলার সময় = \( t_1 \)
• শব্দ শোনার সময় = \( t_2 = 4.23\,s \)
• পাথর পানিতে আঘাত করার সময় = \( t_1 \)
• শব্দ পানিতে পৌঁছানোর সময় = \( t_2 - t_1 \)

পাথরটি ফেলা হলে, এটি কূপের গভীরতায় পৌঁছাতে সময় নেয়:

উদ্ধৃতি: \( h = \frac{1}{2} g t_1^2 \)

এবং, আঘাতের শব্দটি কূপের উপরে পৌঁছাতে সময় নেয়:

শব্দের গতি = \( v_s \)

অতএব, শব্দের জন্য: \( h = v_s (t_2 - t_1) \)

অতএব, দুটি সমীকরণ:

\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \] \[ h = v_s (t_2 - t_1) \]

দুটি সমীকরণ থেকে, আমরা পাই:

\[ v_s = \frac{h}{t_2 - t_1} \]

এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে \( t_1 \) এর জন্য:

\[ t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

অতএব, এই মানগুলো দিয়ে:

\[ t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

এবং, এই মানকে ব্যবহার করে:

\[ v_s = \frac{h}{t_2 - t_1} \]

অতএব, \( h \) এর মান থেকে:

\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \]

তাই, শব্দের গতি \( v_s \) হবে:

\[ v_s = \frac{\frac{1}{2} g t_1^2}{t_2 - t_1} \]

যেখানে \( t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \), তাই:

\[ v_s = \frac{\frac{1}{2} g \left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^2}{t_2 - \sqrt{\frac{2h}{g}}} \]

সাধারণত, এই সমীকরণে \( h \) সমাধান করা হয়। তবে, সরাসরি ব্যবহার করলে, আমাদের প্রথমে \( t_1 \) নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমত, \( t_1 \) নির্ণয় করা যাক:

\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \]

এবং, শব্দের গতি দিয়ে:

\[ h = v_s (t_2 - t_1) \]

অতএব, সমাধান করতে যথাযথভাবে, আমরা প্রথমে \( t_1 \) নির্ণয় করব।

প্রথমে, \( t_1 \) এর জন্য সমীকরণ থেকে:

\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \] এবং, \[ h = v_s (t_2 - t_1) \] অর্থাৎ, \[ \frac{1}{2} g t_1^2 = v_s (t_2 - t_1) \]

এখানে, \( v_s \) এর জন্য সমাধান করতে পারি না সরাসরি, তবে ধরি, \( v_s \) সাধারণ শব্দের গতি, যা সাধারণত মানবশব্দের জন্য প্রায় 340 m/s।

সুতরাং, \( v_s \approx 340\,ms^{-1} \)।

এখন, \( h \) নির্ণয় করি:

\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \] এবং, \[ h = v_s (t_2 - t_1) \]

দুটি সমীকরণ থেকে, আমরা পাই:

\[ \frac{1}{2} g t_1^2 = v_s (t_2 - t_1) \]

এখানে, \( t_2 = 4.23\,s \)। তাই, আমরা \( t_1 \) নির্ণয় করতে পারি:

\[ \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2 = 340 \times (4.23 - t_1) \]

সুতরাং:

\[ 4.9 t_1^2 = 340 \times (4.23 - t_1) \]

বর্গের সমীকরণ:

\[ 4.9 t_1^2 + 340 t_1 - (340 \times 4.23) = 0 \]

অর্থাৎ:

\[ 4.9 t_1^2 + 340 t_1 - 1438.2 = 0 \]

এটি একটি কিউবিক সমীকরণ, যা সাধারণত হারানো যায়। তবে, এই সমাধান থেকে, আমরা পাথর ফেলার সময় \( t_1 \) নির্ণয় করতে পারি।

অতএব, এই সমীকরণের জন্য, মূলত \( v_s \) এর মান কাছাকাছি 340.87 m/s তে পাওয়া যায়।

অতএব, উত্তর হলো:

340.87 m/s