কোন শর্তে \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরনের উভয়মূল যোগবোধক হবে?

প্রশ্ন: \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরণের উভয় মূল যোগবোধক হওয়ার শর্ত নির্ণয় করো।

শর্তাবলী:

1. a<0 হতে হবে।
2. c<0 হতে হবে।

ব্যাখ্যা:

ধরি, \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)। যেহেতু উভয় মূল যোগবোধক, তাই \(\alpha > 0\) এবং \(\beta > 0\)।

আমরা জানি, মূলদ্বয়ের যোগফল = \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\). এখানে \(b = 5\), সুতরাং \(\alpha + \beta = -\frac{5}{a}\).

যেহেতু \(\alpha > 0\) এবং \(\beta > 0\), তাই \(\alpha + \beta > 0\). অর্থাৎ, \(-\frac{5}{a} > 0\).

অতএব, \(a < 0\) 😮 (কারণ \(a\) ঋণাত্মক না হলে \(-\frac{5}{a}\) ধনাত্মক হতে পারে না)।

আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল = \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\). যেহেতু \(\alpha > 0\) এবং \(\beta > 0\), তাই \(\alpha\beta > 0\). অর্থাৎ, \(\frac{c}{a} > 0\).

যেহেতু \(a < 0\) এবং \(\frac{c}{a} > 0\), তাই \(c < 0\) 🧐 (কারণ \(a\) ঋণাত্মক হলে \(c\)-কেও ঋণাত্মক হতে হবে, তা না হলে \(\frac{c}{a}\) ধনাত্মক হবে না)।

সুতরাং, \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরণের উভয় মূল যোগবোধক হওয়ার শর্ত হল: \(a < 0\) এবং \(c < 0\) 🥰।