Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 = -2x \) পরাবৃত্তের—
অপশন:
i. উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \( 2x = 1 \)
ii. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 2 একক
iii. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)
সঠিক উত্তর: **ii ও iii**
---
### সমাধান:
প্রথমে পরাবৃত্তের সূচক ও উপকেন্দ্র নির্ণয় করি।
**প্রদত্ত সমীকরণ:**
\[
y^2 = -2x
\]
এটি একটি বাঁকা পরাবৃত্ত, যার সাধারণ আকার:
\[
y^2 = 4a(x - h)
\]
এখানে, \( (h, k) \) হল উপকেন্দ??র এবং \( 4a \) হল পরাবৃত্তের দৈর্ঘ্য।
**সরলীকরণ:**
\[
y^2 = -2x \Rightarrow y^2 = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) x
\]
তাই,
\[
4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}
\]
এখানে, \(a\) নেতিবাচক মান নির্দেশ করে যে পরাবৃত্তি **বামদিকে** খুঁজে পাওয়া যায়।
**উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:**
উপকেন্দ্রের \(h, k\) নির্ণয় করি।
উপকেন্দ্রের \(x\)-স্থানাঙ্ক:
\[
h = -a = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}
\]
উপকেন্দ্রের \(y\)-স্থানাঙ্ক:
\[
k = 0
\]
অর্থাৎ, **উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:**
\[
\left(\frac{1}{2}, 0\right)
\]
**উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:**
উপকেন্দ্রিক লম্বের (tangent at vertex) সমীকরণ সাধারণত:
\[
x = h + a
\]
এবং, এখানে \(a = -\frac{1}{2}\), তাই:
\[
x = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0
\]
অর্থাৎ, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
\[
x = 0
\]
যা যে অপশনে দেওয়া হয়নি।
তবে, মূল প্রশ্নে উল্লেখ আছে:
**"উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ 2x = 1"**
এটি সমীকরণ:
\[
x = \frac{1}{2}
\]
এবং উপকেন্দ্রের \(x\)-স্থানাঙ্ক \(\frac{1}{2}\), যেখানে লম্বটি \(x = \frac{1}{2}\) লাইন হতে পারে।
---
### দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
পরাবৃত্তির দৈর্ঘ্য \(4a\):
\[
|4a| = 2
\]
অর্থাৎ, **পরাবৃত্তের দৈর্ঘ্য 2 একক।**
---
### উপসংহার:
- **উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:** \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) — সঠিক
- **উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:** \(x = \frac{1}{2}\) (অপশনে দেওয়া 2x=1, অর্থাৎ \(x= \frac{1}{2}\)) — সঠিক
- **লম্বের দৈর্ঘ্য:** 2 একক — সঠিক
অতএব, **উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য সঠিক।**
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
**"ii ও iii"**
