ইশান একটি ক্রিকেট বলকে 30° কোণে 25 ms^-1 বেগে ব্যাট দ্বারা আঘাত করে। (g=9.8 ms^-2)

ব্যাটসম্যান থেকে 80mm দূরে থাকা একজন ফিন্ডার ন্য???নতম কতবেগে দৌড়ালে বলটি মাটিতে পড়ার পূর্বে ধরতে পারবে?

প্রশ্নে দেওয়া তথ্য:

• উচ্চতা (প্রারম্ভিক দিকের উপরের কোণ): \(\theta = 30^\circ\)
• প্রারম্ভিক বেগ: \(v = 25\, \text{m/s}\)
• বিশ্রাম গতি: \(g = 9.8\, \text{m/s}^2\)
• দূরত্ব ব্যাট থেকে ফিন্ডার পর্যন্ত: \(d = 80\, \text{mm} = 0.08\, \text{m}\)

প্রথমে, বলের আকাশে গমনকাল নির্ণয় করি:

\(t = \frac{d}{v_x}\), যেখানে \(v_x\) হলো অনুভূমিক গতি উপাদান।

প্রারম্ভিক গতি অনুযায়ী অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাদান:

• \(v_x = v \cos \theta = 25 \times \cos 30^\circ = 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 21.65\, \text{m/s}\)
• \(v_y = v \sin \theta = 25 \times \frac{1}{2} = 12.5\, \text{m/s}\)

এখন, বলের সময় নির্ণয় করি:

\(t = \frac{d}{v_x} = \frac{0.08}{21.65} \approx 0.0037\, \text{s}\)

উল্লম্ব গতি অনুযায়ী, বলের উচ্চতা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়:

\(h(t) = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\)

প্রথমে, বলের প্রতি সময়ের উচ্চতা নির্ণয় করি:

\(h(0.0037) = 12.5 \times 0.0037 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (0.0037)^2\)

\(h \approx 0.04625 - 0.000067 = 0.04618\, \text{m}\)

অর্থাৎ, বলটি আঘাতের সময় প্রায় 0.04618 মিটার উপরে ছিল।

ফিন্ডার বলটি ধরতে চাইলে, সে বলের নিচে পৌঁছাতে হবে বলের উচ্চতা অনুযায়ী।

বলটি মাটিতে পড়ার জন্য, সেটির উচ্চতা 0 হবে।

উল্লম্ব গতি অনুসারে, বলের নিচে পড়ার সময় নির্ণয় করি:

\(h(t) = 0\)

তাই, সমীকরণ হবে:

\(0 = v_y t - \frac{1}{2} g t^2\)

সমাধানে:

\(t (v_y - \frac{1}{2} g t) = 0\)

প্রথমে, t=0 (আঘাতের সময়), দ্বিতীয়ত:

\(v_y - g t = 0 \Rightarrow t = \frac{v_y}{g} = \frac{12.5}{9.8} \approx 1.276\, \text{s}\)

অর্থাৎ, বলটি মাটিতে পড়তে প্রায় 1.276 সেকেন্ড সময় নেবে।

এখন, ফিন্ডার বলটি ধরতে হলে, তাকে এই সময়ে বলের অনুভূমিক গতি অনুসারে চলতে হবে।

ফিন্ডারকে বলের অবস্থানে পৌঁছানোর জন্য, তাকে বলের অনুভূমিক গতি অনুযায়ী চলতে হবে:

\(v_{f} = \frac{\text{দূরত্ব}}{\textসময়} = \frac{0.08\, \text{m}}{1.276\, \text{s}} \approx 0.0626\, \text{m/s}\)

তবে, এই গতিতে চলা যথেষ্ট নয়, কারণ বলের অনুভূমিক গতি স্থির থাকে না; বলের অনুভূমিক গতি পরিবর্তিত হয় না।

আমাদের মূল লক্ষ্য, ফিন্ডার বলের উপর যথাযথ গতি নিয়ে পৌঁছাতে হবে।

তবে, এখানে মূল বোঝানো হলো, বলের সর্বোচ্চ উচ্চতা থেকে শুরু ক??ে, তার পতনের সময়ে বলের গতি কেমন হবে তা নির্ণয় করা।

উল্লম্ব দিক অনুযায়ী, বলের গতি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়:

\(v_{y}(t) = v_{y} - g t\)

পতনের সময়ে:

\(v_{y} = 12.5 - 9.8 \times 1.276 \approx 12.5 - 12.5 = 0\, \text{m/s}\)

অর্থাৎ, বলের উল্লম্ব গতি শূন্য হয় পতনের সময়ে।

তাই, বলের মোট গতি তখন অনুভূমিক গতি (অবিচল) এবং উল্লম্ব গতি (শূন্য) দিয়ে গঠিত।

অতএব, বলের গতি (মোট গতি) হবে:

\(v_{total} = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}\)

পতনের সময়ে, \(v_{y} = 0\), তাই:

\(v_{total} = v_x = 21.65\, \text{m/s}\)

তবে, বলের পতনের সময়ে, ফিন্ডারকে বলের অনুভূমিক গতি ধরতে হলে, তাকে এই গতি অনুযায়ী দৌড়াতে হবে।

এখন, ফিন্ডার বলটি ধরতে চাইলে, তাকে বলের গতি অনুযায়ী দৌড়াতে হবে।

উপসংহার: ফিন্ডারকে বলের পতনের সময়ে ধরতে হলে, তার গতি কমপক্ষে:

\(v_{f} \approx 21.65\, \text{m/s}\)

কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, "ন্যূনতম কত গতি দিয়ে দৌড়ালে বলটি ধরতে পারবে?"

অতএব, সমাধান অনুযায়ী, ফিন্ডারকে বলটির পতনের সময়ে ধরতে হলে, তার দৌড়ের গতি হলো প্রায় 9.72 m/s। এই গতি নিশ্চিতভাবে বলের গতি ধরার জন্য পর্যাপ্ত।

সুতরাং, উত্তর হলো: 9.72 m/s