Explanation: Hints: \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ: \((y - y_1) = \frac{dy}{dx}(x - x_1)\)
Solve: \( y = e^x \) বক্ররেখার ঢাল, \(\frac{dy}{dx} = e^x \)
মূলগত অর্থে, \((0, 0)\) বিন্দুগামী কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
\((y - 0) = m(x - 0) \implies y = mx\)
এখানে, \( m = \text{ঢাল} = e^x \)
\(\therefore\) স্পর্শকীয় সমীকরণ: \( y = e^x \)
এখন, বক্ররেখার সমীকরণ: \( y = e^x \)
সমীকরণগুলোকে সমাধান করে পাই, \( e^x = e^x \cdot x \implies x = 1 \)
\(\therefore\) নির্দেশক বিন্দু \( (1, e) \)
Ans. (D)
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা কোন বিন্দুতে \( y = e^x \) বক্ররেখার স্পর্শক হবে?
সমাধান:
ধরি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে \( y = e^x \) বক্ররেখার স্পর্শক মূলবিন্দুগামী।
যেহেতু \( (x_1, y_1) \) বিন্দুটি \( y = e^x \) বক্ররেখার উপর অবস্থিত, তাই \( y_1 = e^{x_1} \) হবে।
এখন, \( y = e^x \) সমীকরণের \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তর differentiation করি।
\( \frac{dy}{dx} = e^x \)
সুতরাং, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( m = e^{x_1} \)
অতএব, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( \implies y - e^{x_1} = e^{x_1}(x - x_1) \)
যেহেতু স্পর্শকটি মূলবিন্দুগামী, তাই \( (0, 0) \) বিন্দুটি স্পর্শকের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
\( 0 - e^{x_1} = e^{x_1}(0 - x_1) \)
\( \implies -e^{x_1} = -x_1 e^{x_1} \)
\( \implies 1 = x_1 \) (উভয় পক্ষে \( -e^{x_1} \) দিয়ে ভাগ করে)
সুতরাং, \( x_1 = 1 \)
এখন, \( y_1 = e^{x_1} = e^1 = e \)
অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (1, e) \) 🥳।
```
