পৃথিবী ও মংগলে কোন বস্তুর মুক্তিবেগ  11.2kms^-1 ও  5.12kms^-1, পৃথিবীর ভর মঙ্গলের ভরের 9 গুণ

পৃথিবীর অভিকবৃজ ত্বরণ মঞ্চালের অভিকর্ষজ ত্বরনের কত গুন ?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ:

প্রথমত, পৃথিবী ও মঙ্গলের মুক্তিবেগ (Escape Velocity) দেওয়া হয়েছে যথাক্রমে:

• পৃথিবীর মুক্তিবেগ, \( v_{e1} = 11.2\, \text{km/s} \)
• মঙ্গলের মুক্তিবেগ, \( v_{e2} = 5.12\, \text{km/s} \)

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

• পৃথিবীর ভর, \( M_1 \)
• মঙ্গলের ভর, \( M_2 \)
• পৃথিবীর ভর মঙ্গলের ভরের ৯ গুণ: \( M_1 = 9 M_2 \)
• অভিকর্ষ ত্বরণ (Gravitational acceleration): \( g \)

সমাধান:

মুক্তিবেগের সূত্র অনুযায়ী:

\( v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \)

অর্থাৎ, মুক্তিবেগের বর্গফল সমান:

\( v_{e}^2 = \frac{2GM}{R} \)

এখানে, \( M \) হলো সেই পৃষ্ঠের উপর অবস্থিত গ্রহের ভর এবং \( R \) হলো তার অভ্যন্তরীণ অক্ষাংশ।

তাই, দুটি গ্রহের জন্য:

\( v_{e1}^2 = \frac{2 G M_1}{R_1} \)

\( v_{e2}^2 = \frac{2 G M_2}{R_2} \)

প্রশ্নে, ভর সম্পর্কিত তথ্য: \( M_1 = 9 M_2 \)

অভিকর্ষ ত্বরণ (g):

\( g = \frac{GM}{R^2} \)

তাহলে, অভিকর্ষ ত্বরণ অনুযায়ী:

\( G M = g R^2 \)

প্রতিটি গ্রহের জন্য:

\( G M_1 = g_1 R_1^2 \)

\( G M_2 = g_2 R_2^2 \)

অতএব, মুক্তিবেগের সূত্রে:

\( v_{e1}^2 = 2 g_1 R_1 \)

\( v_{e2}^2 = 2 g_2 R_2 \)

আমাদের লক্ষ্য হলো, অভিকর্ষ ত্বরণ মঞ্চালের (surface gravity) কত গুণ:

\( \frac{g_1}{g_2} \)

তাহলে, মুক্তিবেগের অনুপাত:

\( \frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{g_1 R_1}{g_2 R_2}} \)

অথবা, মুক্তিবেগের বর্গফল:

\( \left(\frac{v_{e1}}{v_{e2}}\right)^2 = \frac{g_1 R_1}{g_2 R_2} \)

প্রশ্নে, \( v_{e1} = 11.2\, \text{km/s} \), \( v_{e2} = 5.12\, \text{km/s} \)

তাই:

\( \left(\frac{11.2}{5.12}\right)^2 = \frac{g_1 R_1}{g_2 R_2} \)

\( \left(2.1875\right)^2 \approx 4.785 \)

অতএব,

\( \frac{g_1 R_1}{g_2 R_2} \approx 4.785 \)

এখন, ভরের সম্পর্ক অনুযায়ী:

\( M_1 = 9 M_2 \)

এবং, \( G M_1 = g_1 R_1^2 \), \( G M_2 = g_2 R_2^2 \)

অর্থাৎ:

\( g_1 R_1^2 = 9 g_2 R_2^2 \)

এবং, \( \frac{g_1 R_1^2}{g_2 R_2^2} = 9 \)

তাহলে, \( \frac{g_1}{g_2} \times \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = 9 \)

এবং, \( \frac{g_1 R_1}{g_2 R_2} = \frac{g_1}{g_2} \times \frac{R_1}{R_2} \)

উপরের দুই সমীকরণ থেকে, আমরা পাই:

\( \frac{g_1 R_1}{g_2 R_2} = 4.785 \)

এবং, \( \frac{g_1}{g_2} \times \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = 9 \)

ধরি, \( x = \frac{R_1}{R_2} \), তাহলে:

\( \frac{g_1}{g_2} \times x^2 = 9 \)

এবং, \( \frac{g_1 R_1}{g_2 R_2} = \frac{g_1}{g_2} \times x = 4.785 \)

অতএব,

\( \frac{g_1}{g_2} = \frac{4.785}{x} \)

প্রতিটি সমীকরণে রাখলে:

\( \frac{4.785}{x} \times x^2 = 9 \)

অর্থাৎ, \( 4.785 x = 9 \)

সুতরাং,

\( x = \frac{9}{4.785} \approx 1.88 \)

আবার,

\( \frac{g_1}{g_2} = \frac{4.785}{x} \approx \frac{4.785}{1.88} \approx 2.55 \)

উপসংহার:

অভিকর্ষ ত্বরণের অনুপাত:

\( \frac{g_1}{g_2} \approx 2.56 \)

উত্তর:

2.56 গুণ