Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( n \) এর ধনাত্মক সর্বনিম্ন অখণ্ড মান কত যখন \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = 1 \)?
উত্তর: 4
সমাধান:
প্রথমে, ধরা যাক,
\[
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = 1
\]
এখানে, \(\frac{1+i}{1-i}\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে।
প্রথমে, সরলীকরণ করি:
\[
\frac{1+i}{1-i}
\]
রাশিয়ান গুণনীয়ক ব্যবহার করে:
\[
\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}
\]
সতর্কতা: এই পদ্ধতিতে, মূল গুণনীয়কটি 1-i এর সাথে 1+i এর গুণফল। কিন্তু সরাসরি সরলীকরণ সহজতর হয় যদি মূল গুণনীয়কটি কনজুগেট দিয়ে গুণ করা হয়।
অতএব, সরলীকরণের জন্য:
\[
\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}
\]
এখানে,
\[
(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2
\]
এবং,
\[
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i
\]
অতএব,
\[
\frac{1+i}{1-i} = \frac{2i}{2} = i
\]
অতএব,
\[
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = i^n
\]
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\[
i^n = 1
\]
এখন, \( i \) এর মানের জন্য, আমরা জানি:
\[
i^1 = i
\]
\[
i^2 = -1
\]
\[
i^3 = -i
\]
\[
i^4 = 1
\]
এবং এই চক্র 4 ধাপে পুনরাবৃত্তি হয়। সুতরাং, \( i^n = 1 \) তখন এবং শুধুমাত্র তখন, যখন:
\[
n \equiv 0 \ (\text{mod } 4)
\]
অর্থাৎ, \( n \) একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলে, সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান:
\[
n = 4
\]
অতএব, উত্তর:
\[
\boxed{4}
\]
