কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \( 1+ i \) হলে সমীকরণটি হবে-

সমাধান:

ধরা যাক, দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো \(ax^2 + bx + c = 0\)। এর মূলসমূহ হলো \( \alpha \) এবং \( \beta \)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, একটি মূল \( 1 + i \)। তাহলে সেটি হলো \( \alpha = 1 + i \)।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল ও গুণফল সম্পর্ক অনুযায়ী:

• যোগফল: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• গুণফল: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

অতএব, মূল \( \alpha = 1 + i \) থাকলে, অন্য মূল \( \beta \) হবে মূলের গুণফলের সমান।

প্রথমত, মূলের গুণফল নির্ণয়:

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলো জোড়ায় জোড়ায় মূলের গুণফল ও যোগফল ধরা হয়।

অতএব, মূল \( \beta \) হলো:

\( \beta = \overline{\alpha} = 1 - i \)

মূলের গুণফল:

\( \alpha \beta = (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \)

মূলের যোগফল:

\( \alpha + \beta = (1 + i) + (1 - i) = 2 \)

অতএব, সমীকরণের সাধারণ রূপ:

\( x^2 - (\text{যোগফল})x + (\text{গুণফল}) = 0 \)

অর্থাৎ,

\( x^2 - 2x + 2 = 0 \)

উত্তর:

সমীকরণটি হবে: \( 2x^2 - 2x + 1 = 0 \)