x^2 + 6y = 0    কণিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত? 

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ: \(x^2 + 6y = 0\)

প্রথমে, সমীকরণটি কণিকার কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করি। এটি একটি পারabোলার সমীকরণ।

সাধারণতঃ, পারabোলার সমীকরণ \(y = ax^2 + bx + c\) আকারে লেখা যায়। এখানে, সমীকরণকে সাজানো যাক:

\(x^2 + 6y = 0 \Rightarrow 6y = -x^2 \Rightarrow y = -\frac{1}{6}x^2\)

অর্থাৎ, এই কণিকার কেন্দ্রের অবস্থানঃ

\( (h, k) = (0, 0) \)

এখন, এই পারabোলার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে চাই।

একটি পারabোলার মূল কেন্দ্রের দূরত্ব (focal length) নির্ণয় করতে, মূল ফোকাল পয়েন্টের অবস্থান জানা দরকার।

পারabোলার সমীকরণে, \(y = ax^2\) আকারে থাকলে, এর ফোকাল পয়েন্টের স্থানঃ

\(F = (0, \frac{1}{4a})\)

এখানে, \(a = -\frac{1}{6}\), তাই:

\(F = \left( 0, \frac{1}{4 \times -\frac{1}{6}} \right) = \left( 0, -\frac{6}{4} \right) = \left( 0, -\frac{3}{2} \right)\)

অর্থাৎ, ফোকাল পয়েন্টের স্থানঃ \(\left( 0, -\frac{3}{2} \right)\)

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করতে হবে।

কণিকার উপকেন্দ্রিক লম্বের জন্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(2b\), যেখানে \(b\) হলো উপকেন্দ্রের থেকে ফোকাল পয়েন্টের দূরত্ব।

কিন্তু, এই ক্ষেত্রে, উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করতে, পারabোলার সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করি।

আমাদের জানানো হয়েছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো 6।

অর্থাৎ, উপকেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব হলো:

\(b = \frac{6}{2} = 3\)

উপকেন্দ্রের স্থান নির্ণয় করি। পারabোলার সমীকরণে, উপকেন্দ্রের স্থান নির্ণয় করতে, এটি কেন্দ্রের থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্বের সমান, যা হলো 3।

উপকেন্দ্রের অবস্থানঃ

\( (x_0, y_0) \)

এবং এটি কেন্দ্রের থেকে দূরত্ব 3 এ অবস্থান করছে।

তাই, উপকেন্দ্রের অবস্থান হতে পারে: \((x_0, y_0)\) যেখানে

\( (x_0)^2 + (y_0)^2 = 3^2 = 9 \)

উপকেন্দ্রের জন্য, পারabোলার ফোকাল পয়েন্টের দূরত্বের সূত্র অনুসারে, উপকেন্দ্রের স্থান এর সাথে সম্পর্কিত।

সাধারণতঃ, উপকেন্দ্রের স্থান ও ফোকাল পয়েন্টের স্থান সমন্বয়ে, উপকেন্দ্রের স্থান নির্ণয় করা হয়।

যদিও, এই প্রশ্নে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য সরাসরি 6 দেওয়া হয়েছে।

অতএব, উত্তরে, লম্বের দৈর্ঘ্য = 6।

অতএব, উত্তর: 6