Another Explanation (5): প্রশ্নের সমাধানের জন্য প্রথমে মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করি। প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\[
\text{প্রশ্ন: } (-1, -\sqrt{-3})
\]
অর্থাৎ, সমীকরণটি মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\), যার মূলসমূহ হলো \(-1\) এবং \(-\sqrt{-3}\)।
প্রথমে, মূলসমূহের যোগফল ও গুণফল নির্ণয় করি:
\[
\alpha = -1, \quad \beta = -\sqrt{-3}
\]
মূলসমূহের যোগফল:
\[
\alpha + \beta = -1 + (-\sqrt{-3}) = -1 - \sqrt{-3}
\]
মূলসমূহের গুণফল:
\[
\alpha \beta = (-1) \times (-\sqrt{-3}) = \sqrt{-3}
\]
এখন, মূলসমূহের উপর ভিত্তি করে দ্বিঘাত সমীকরণের মান নির্ণয় করি:
\[
x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
x^2 - (-1 - \sqrt{-3}) x + \sqrt{-3} = 0
\]
এটি সরলীকরণ করলে:
\[
x^2 + (1 + \sqrt{-3}) x + \sqrt{-3} = 0
\]
এখন, \(\sqrt{-3}\) কে সাধারণ রূপে প্রকাশ করি:
\[
\sqrt{-3} = i \sqrt{3}
\]
অতএব, সমীকরণটি হয়ে যাবে:
\[
x^2 + (1 + i \sqrt{3}) x + i \sqrt{3} = 0
\]
এই সমীকরণটি মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নয়, কারণ এর মূলসমূহ বাস্তব নয়। তবে, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে উল্লেখিত বিকল্পটি হলো:
\[
x^2 + 2x + 4 = 0
\]
এখন, এই সমীকরণের মূলসমূহ:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
যেখানে \(a=1, b=2, c=4\):
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}i}{2} = -1 \pm i \sqrt{3}
\]
মূলসমূহঃ \(-1 + i \sqrt{3}\) ও \(-1 - i \sqrt{3}\)। এই মূলসমূহ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের মূলসমূহের সাথে মিল আছে।
অতএব, সমীকরণ:
\[
x^2 + 2x + 4 = 0
\]
এই সমীকরণের মূলসমূহ হলো \(-1 \pm i \sqrt{3}\), যা মূলসমূহের তালিকা অনুযায়ী সমাধান। তাই, মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{ x^2 + 2x + 4 = 0 }
\]
