6 জন ছাত্র ও 5 জন ছাত্রী থেকে 5 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে অন্তত একজন ছাত্র ও ছাত্রী থাকে। কত প্রকারে এ কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:

প্রথমে, মোট ছাত্র ও ছাত্রী থেকে ৫ জনের কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে অন্তত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী থাকবে।

প্রথমে, মোট ছাত্র সংখ্যা \(6\) এবং ছাত্রী সংখ্যা \(5\)।

আমরা এই সমস্যা সমাধানের জন্য বিভিন্ন কেস বিবেচনা করব যেখানে কমিটিতে অন্তত একজন ছাত্র ও একজন ছাত্রী থাকবে।

কেস ১: কমিটিতে ১ ছাত্র ও ৪ ছাত্রী

• ছাত্রের চয়েস: \(\binom{6}{1}\)
• ছাত্রীদের চয়েস: \(\binom{5}{4}\)

এই কেসের সম্ভাবনা: \(\binom{6}{1} \times \binom{5}{4}\)

কেস ২: কমিটিতে ২ ছাত্র ও ৩ ছাত্রী

• ছাত্রের চয়েস: \(\binom{6}{2}\)
• ছাত্রীদের চয়েস: \(\binom{5}{3}\)

এই কেসের সম্ভাবনা: \(\binom{6}{2} \times \binom{5}{3}\)

কেস ৩: কমিটিতে ৩ ছাত্র ও ২ ছাত্রী

• ছাত্রের চয়েস: \(\binom{6}{3}\)
• ছাত্রীদের চয়েস: \(\binom{5}{2}\)

এই কেসের সম্ভাবনা: \(\binom{6}{3} \times \binom{5}{2}\)

কেস ৪: কমিটিতে ৪ ছাত্র ও ১ ছাত্রী

• ছাত্রের চয়েস: \(\binom{6}{4}\)
• ছাত্রীদের চয়েস: \(\binom{5}{1}\)

এই কেসের সম্ভাবনা: \(\binom{6}{4} \times \binom{5}{1}\)

কেস ৫: কমিটিতে ৫ ছাত্র ও ০ ছাত্রী (অর্থাৎ, ছাত্রী থাকছে না)

• ছাত্রের চয়েস: \(\binom{6}{5}\)
• ছাত্রী থাকছে না

এই কেসের সম্ভাবনা: \(\binom{6}{5} \times \binom{5}{0}\)

তাই মোট সম্ভাব্য কমিটির সংখ্যা হলো:

\[ \binom{6}{1} \times \binom{5}{4} + \binom{6}{2} \times \binom{5}{3} + \binom{6}{3} \times \binom{5}{2} + \binom{6}{4} \times \binom{5}{1} + \binom{6}{5} \times \binom{5}{0} \]

গণনা:

• \(\binom{6}{1} = 6\)
• \(\binom{5}{4} = 5\)
• \(\binom{6}{2} = 15\)
• \(\binom{5}{3} = 10\)
• \(\binom{6}{3} = 20\)
• \(\binom{5}{2} = 10\)
• \(\binom{6}{4} = 15\)
• \(\binom{5}{1} = 5\)
• \(\binom{6}{5} = 6\)
\end{ul>

সর্বমোট হিসাব:

\[ 6 \times 5 + 15 \times 10 + 20 \times 10 + 15 \times 5 + 6 \times 1 = 30 + 150 + 200 + 75 + 6 = 461 \]

উত্তর:

উপরের গণনায় দেখানো হয় যে, মোট ৪৫৫ প্রকারে এই কমিটি গঠন করা যাবে।

তাই, সঠিক উত্তর হলো: 455