3(x-1)² + 4y² = 12 সমীকরণ কি বর্ণনা করে?

সমীকরণের বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণ হলো:

\[ 3(x - 1)^2 + 4y^2 = 12 \]

ধাপ ১: সাধারণ রূপে রূপান্তর

প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ আকারে আনতে প্রতিটি অংশকে ১২ দ্বারা ভাগ করি:

\[ \frac{3(x - 1)^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = 1 \]

এখানে, প্রত্যেকটি ভগ্নাংশ সরলীকরণ করি:

\[ \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \]

ধাপ ২: আকার ও বৈশিষ্ট্য নির্ণয়

এখন সমীকরণটি হলো:

\[ \frac{(x - 1)^2}{2^2} + \frac{y^2}{\sqrt{3}^2} = 1 \]

এটি একটি এলিপ্সের সাধারণ আকার। এর কেন্দ্র হলো \((h, k) = (1, 0)\), অক্ষের অনুপাত হলো:

\[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \]

\[ b^2 = 3 \Rightarrow b = \sqrt{3} \]

ধাপ ৩: উপবৃত্তের বৈশিষ্ট্য

এলিপ্সের কেন্দ্র \((1, 0)\), এবং এর এক অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\), অন্য অক্ষের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{3}\)।

উপবৃত্তের একটি ফোকাস নির্ণয় করতে, আমরা জানি যে, উপবৃত্তের ফোকাসের স্থানাংক \((x - h)^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1\) এর জন্য:

\[ c^2 = a^2 - b^2 \]

অর্থাৎ,

\[ c^2 = 4 - 3 = 1 \Rightarrow c = 1 \]

ধাপ ৪: ফোকাসের অবস্থান নির্ণয়

উপবৃত্তের ফোকাসগুলি কেন্দ্র থেকে অক্ষের দিক অনুযায়ী \(c\) দূরত্বে অবস্থিত। যেহেতু অক্ষটি হলো x-অক্ষ, অতএব, ফোকাসের স্থানাংক হলো:

\[ ( h \pm c, k ) = (1 \pm 1, 0) \]

অর্থাৎ, ফোকাস দুটির অবস্থান হলো:

\[ (0, 0) \quad \text{এবং} \quad (2, 0) \]

উপসংহার

অতএব, সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত (ellipse), যার কেন্দ্র \((1, 0)\), এক ফোকাস \((1 + 1, 0) = (2, 0)\), এবং অন্য ফোকাস \((1 - 1, 0) = (0, 0)\)।

সুতরাং, সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত যেটির একটি ফোকাস \((1, 0)\) থেকে 1 দূরত্বে অবস্থিত।

উত্তর:

সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত, যার একটি ফোকাস \((1, 0)\)।