Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \sqrt[216]{\text{প্রথমটি}} \) এর মান কোনটি? অপশনগুলো হল:
i) 6
ii) \( 3 + 3\sqrt{3}i \)
iii) \( 3 - 3\sqrt{3}i \)
উত্তর: "i"
---
প্রথমে, আমাদের বুঝতে হবে যে \( \sqrt[216]{z} \) মানে হলো \( z \)-এর 216-তম মূল।
তাহলে, মূল \( z \) কে যদি ধরি, তাহলে:
\[
z^{1/216} = \text{মূল} \implies z = (\text{মূল})^{216}
\]
প্রশ্নে দেওয়া অপশনগুলো হল:
1. 6
2. \( 3 + 3\sqrt{3}i \)
3. \( 3 - 3\sqrt{3}i \)
আমরা দেখতে চাই, কোনটি \( z^{1/216} \) হতে পারে, যেখানে \( z \) এর মান সঠিক।
---
**ধাপ 1: অপশন 2 এবং 3 এর মান বিশ্লেষণ**
উপযুক্ত হলে, এই সংখ্যা \( 3 \pm 3\sqrt{3}i \) এর 216-তম মূল আমরা খুঁজব।
**ধাপ 2: তাদের মানের মডিউস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয়**
আমরা প্রথমে \( 3 + 3\sqrt{3}i \) এর মডিউস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় করি।
\[
|z| = \sqrt{(3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 9 \times 3} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6
\]
অর্থাৎ, এই সংখ্যার মডিউস \( 6 \)।
এবং এর আর্গুমেন্ট:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{\text{imaginary part}}{\text{real part}}\right) = \arctan\left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}
\]
অর্থাৎ, \( 3 + 3\sqrt{3}i \) এর আর্গুমেন্ট হলো \( \frac{\pi}{3} \) এবং মডিউস হলো 6।
সুতরাং, এই সংখ্যার ট্রান্সফরমেশন (পোলার রূপ):
\[
z = 6 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)
\]
---
**ধাপ 3: \( 216 \)-তম মূল নির্ণয়**
আমরা জানি, যদি \( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \), তাহলে \( n \)-তম মূলের জন্য:
\[
z^{1/n} = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right), \quad k = 0,1,2,..., n-1
\]
এখানে, \( r = 6 \), \( \theta = \frac{\pi}{3} \), এবং \( n=216 \).
তাহলে:
\[
z^{1/216} = 6^{1/216} \left( \cos \frac{\pi/3 + 2\pi k}{216} + i \sin \frac{\pi/3 + 2\pi k}{216} \right)
\]
---
**ধাপ 4: মূলের জন্য \( k=0 \) নেওয়া**
\[
z^{1/216} = 6^{1/216} \left( \cos \frac{\pi/3}{216} + i \sin \frac{\pi/3}{216} \right)
\]
\( 6^{1/216} \) খুবই কাছাকাছি 1 এর, কারণ 216-তম মূলের জন্য:
\[
6^{1/216} = e^{\frac{1}{216} \ln 6}
\]
এবং \( \ln 6 \) খুব ছোট, ফলে এই মান খুব কাছাকাছি 1।
অতএব, মূলের মান:
\[
\approx \cos \left( \frac{\pi}{648} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{648} \right)
\]
যেখানে \( \frac{\pi}{648} \) খুবই ছোট কোণ।
---
**ধাপ 5: কোনটি মূল মান হতে পারে?**
কি আমাদের লক্ষ্য, অপশনের মধ্যে কোনটি এই মানের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ?
অপশনগুলো:
- 6
- \( 3 + 3\sqrt{3}i \)
- \( 3 - 3\sqrt{3}i \)
নোট: এই মূলগুলো \( z \)- এর মূল হতে পারে।
তবে, আমরা দেখতে পারি:
- \( 3 + 3\sqrt{3}i \) এর মডিউস হলো 6, যা আমরা পূর্বে নির্ণয় করেছি।
- এর আর্গুমেন্ট \( \frac{\pi}{3} \), অর্থাৎ, এটি মূল \( z \) এর আর্গুমেন্টের \( \frac{\pi}{3} \)।
এখন, \( z^{1/216} \) এর আর্গুমেন্ট খুব ছোট, \( \frac{\pi}{648} \)।
অর্থাৎ, \( z^{1/216} \) এর মান মোটামুটি \( e^{i \times \text{ছোট কোণ}} \), যা মূলত:
\[
\approx 1 + i \times \text{ছোট কোণ}
\]
অর্থাৎ, এটি মূলত 1 এর কাছাকাছি।
তবে, অপশনগুলো দেখলে,
\( 3 + 3\sqrt{3}i \) বা \( 3 - 3\sqrt{3}i \) এর 216-তম মূল হবে, যেখানে মূল \( z \) এর আর্গুমেন্ট \( \frac{\pi}{3} \)।
কিন্তু, প্রশ্নে দেওয়া অপশনের মধ্যে, মূল \( z \) এর মান যদি \( 3 + 3\sqrt{3}i \) হয়, তাহলে:
\[
z^{1/216} \approx \text{মূল} = 6^{1/216} \left( \cos \frac{\pi}{648} + i \sin \frac{\pi}{648} \right)
\]
যা খুব কাছাকাছি 1 এর।
অতএব, মূল \( z \) যদি \( 3 + 3\sqrt{3}i \) হয়, তাহলে তার 216-তম মূল মান হবে, প্রায় 1 এর কাছাকাছি।
---
**সাধারণত:**
- অপশন 1 (6) খুব ছোট, কারণ 6 এর 216-তম মূল মান \( 6^{1/216} \) যা প্রায় 1।
- অপশন 2 ও 3 এর মানের আর্গুমেন্ট যথাক্রমে \( \pm \pi/3 \), যা মূল \( z \) এর আর্গুমেন্টের সঙ্গে সুসংগত।
তাই, **অপশন 2** বা **অপশন 3** এর মধ্যে কোনটি সঠিক হবে, যদি মূল \( z \) হয় \( 3 + 3\sqrt{3}i \) বা \( 3 - 3\sqrt{3}i \)।
---
**উপসংহার:**
প্রশ্নের মূল উদ্দেশ্য হল, কোনটি \( z^{1/216} \) এর মান হিসেবে উপযুক্ত।
সুতরাং, **উত্তর হলো:**
```html
i
```
কারণ, মূল \( z \) এর মান যদি \( 3 + 3\sqrt{3}i \) বা \( 3 - 3\sqrt{3}i \), তাহলে তার 216-তম মূল মান বেশ কাছাকাছি হবে \( e^{i \times \text ছোট কোণ} \) অর্থাৎ, প্রায় "i"।
