একটি কণার উপর সেকেন্ডে 3, 5 ও 7 মিটার/সে. মানের তিনটি বেগ ভিন্ন ভিন্ন দিক হতে কার্যরত থাকলেও স্??িতিশীল রয়েছে। ক্ষুদ্রতর দুইটি বেগের মধ্যবর্তী কোণটির পরিমাণ কত?

প্রথমে, ধরি তিনটি ভেক্টর: \( \vec{v_1} \), \( \vec{v_2} \), \( \vec{v_3} \) যেখানে যথাক্রমে মানগুলো হলো 3 m/s, 5 m/s, এবং 7 m/s।

সর্বনিম্ন দুইটি ভেক্টরের মধ্যে কোণের মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, এই তিনটি ভেক্টির জন্য তারা স্থিতিশীল অবস্থায় রয়েছে, অর্থাৎ, তাদের যোগফল শূন্য।

অর্থাৎ,

\( \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3} = 0 \)

এটি মানে, তিনটি ভেক্টর গুলোর যোগফল শূন্য, অর্থাৎ তারা সমানভাবে বিপরীতমুখী।

তাহলে, এই তিন ভেক্টরের মধ্যে দুইটি ভেক্টরের মধ্যে কোণের মান নির্ণয় করতে হবে। ধরা যাক, দুইটি ভেক্টর \( \vec{v_1} \) এবং \( \vec{v_2} \), যার মান হলো 3 m/s এবং 5 m/s।

তাদের যোগফল \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) এর পরিমাণ:

\( |\vec{v_1} + \vec{v_2}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \cos \theta} \)

এবং, চূড়ান্ত অবস্থা অনুযায়ী, এই দুই ভেক্টর \( \vec{v_1} \) ও \( \vec{v_2} \), অন্য ভেক্টর \( \vec{v_3} \) এর বিপরীতে।

তাই, এই দুই ভেক্টরের যোগফলের মান হবে:

\( |\vec{v_1} + \vec{v_2}| = v_3 = 7 \) m/s

\Rightarrow \sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \times 3 \times 5 \times \cos \theta} = 7
\end{pre>

\Rightarrow \sqrt{9 + 25 + 30 \cos \theta} = 7
\end{pre>

\Rightarrow 9 + 25 + 30 \cos \theta = 49
\end{pre>

\Rightarrow 34 + 30 \cos \theta = 49
\end{pre>

\Rightarrow 30 \cos \theta = 15
\end{pre>

\Rightarrow \cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}
\end{pre>

\Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ