Another Explanation (5):
প্রথমে, দুটি রেখা হলো:
- \( y = x + 6 \)
- \( y = x^2 \)
এই দুটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে প্রথমে তাদের ছেদ বিন্দু নির্ণয় করতে হবে।
ছেদ বিন্দু নির্ণয়:
সমাধান করি:
\[
x + 6 = x^2
\]
\[
x^2 - x - 6 = 0
\]
আসল সমাধান:
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm 5}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
x = \frac{1 + 5}{2} = 3 \quad \text{অথবা} \quad x = \frac{1 - 5}{2} = -2
\]
সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলি হলো \(x = -2\) এবং \(x = 3\)।
এখন, এই সীমার মধ্যে ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:
\[
A = \int_{x=-2}^{x=3} \left( (x + 6) - x^2 \right) dx
\]
অভ্যন্তরীণ ইন্টিগ্রাল:
\[
A = \int_{-2}^{3} (x + 6 - x^2) dx
\]
এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:
\[
A = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{3}
\]
প্রথমে, \(x = 3\) এর জন্য:
\[
\left( \frac{3^2}{2} + 6 \times 3 - \frac{3^3}{3} \right) = \left( \frac{9}{2} + 18 - 9 \right) = \frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = \frac{27}{2}
\]
অতঃপর, \(x = -2\) এর জন্য:
\[
\left( \frac{(-2)^2}{2} + 6 \times (-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) = \left( \frac{4}{2} - 12 - \frac{-8}{3} \right) = (2 - 12 + \frac{8}{3}) = (-10 + \frac{8}{3}) = \left( -\frac{30}{3} + \frac{8}{3} \right) = -\frac{22}{3}
\]
অতএব, ক্ষেত্রফল:
\[
A = \frac{27}{2} - \left( -\frac{22}{3} \right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3}
\]
কমন ডিনোমিনেটর ৬:
\[
A = \frac{27 \times 3}{6} + \frac{22 \times 2}{6} = \frac{81}{6} + \frac{44}{6} = \frac{125}{6}
\]
সুতরাং, ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো:
\
উত্তর:
\( \boxed{\frac{125}{6}} \)
