Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) বর্জিত পদ কোনটি?
সমাধানঃ
ধরি,
\( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \)
এটি একটি বাইনারি বিস্তার। সাধারণত,
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
এখানে,
\( a = 3x \) এবং \( b = - \frac{2}{x^2} \)
তাহলে, বিস্তার হবে:
\[
\left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (3x)^{15 - k} \left( - \frac{2}{x^2} \right)^k
\]
প্রতিটি পদে,
\[
= \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} x^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{-2k}
\]
সমাধান করি:
\[
= \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{15 - k - 2k}
\]
\[
= \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{15 - 3k}
\]
এখন, \( x \) বর্জিত পদটির জন্য,
\[
15 - 3k = 0
\]
সমাধান করি:
\[
15 = 3k
\Rightarrow k = \frac{15}{3} = 5
\]
অতএব, \( k = 5 \) হলে, পদটি \( x \) বর্জিত হবে।
পদটি হলো:
\[
\binom{15}{5} \cdot 3^{15 - 5} \cdot (-1)^5 \cdot 2^5
\]
গণনা করি:
\[
\binom{15}{5} = 3003
\]
\[
3^{10} = (3^5)^2 = (243)^2 = 59049
\]
\[
(-1)^5 = -1
\]
\[
2^5 = 32
\]
অতএব, পদটি হলো:
\[
3003 \times 59049 \times (-1) \times 32
\]
সংখ্যাগুলি গুণ করি:
প্রথমে,
\[
3003 \times 59049 = 177,331,647
\]
তারপর,
\[
177,331,647 \times 32 = 5,674,612,704
\]
প্রতিবন্ধক হিসেবে, চূড়ান্ত মানের চেয়ে উপসংহার বেশি গুরুত্বপূর্ণ নয়। মূলত, প্রশ্নের জন্য পদটির ক্রম \( k = 5 \)।
সুতরাং, বিস্তৃতির \( x \) বর্জিত পদটি হল **6 তম পদ** (কারণ প্রথম পদটি \( k=0 \) থেকে গণনা শুরু হয়)।
**উত্তর:** 6 তম পদ
```html
সমাধান:
প্রদত্ত বিস্তৃতি: \( \left( 3x - \frac{2}{x^2} \right)^{15} \)
বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
T_{k+1} = \binom{15}{k} \cdot 3^{15 - k} \cdot (-1)^k \cdot 2^k \cdot x^{15 - 3k}
যেখানে, \( x \) বর্জিত পদটির জন্য:
15 - 3k = 0
\Rightarrow k = 5
অতএব, \( k=5 \) হলে পদটি \( x \) মুক্ত হয়।
পদটির ক্রম (অর্থাৎ, পদ সংখ্যা): \( k + 1 = 6 \)
অতএব, উত্তর হচ্ছে: 6 তম
```
