যদি 12 এবং ৪ একক মানের বলদ্বয় একটি বিন্দুতে এমন কোণে ক্রিয়াশীল যেন তাদের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে, তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান কত?

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
- বলদ্বয় 12 এবং 4 একক মানের।
- তারা একটি বিন্দুতে এমন কোণে ক্রিয়াশীল যে, তাদের লব্ধি (অর্থাৎ, তাদের মধ্যবর্তী কোণের মান) তাদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে।

ধরা যাক,
- বলদ্বয়ের মধ্যে মধ্যবর্তী কোণের মান \(\theta\)।
- বলদ্বয়ের কোণগুলো হলো \(A\) এবং \(B\)।
- বলদ্বয়ের মানগুলো হলো \(AB = 12\) এবং \(BC = 4\)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, তাদের লব্ধি \(\theta\) তাদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে।

অর্থাৎ,
\[
\boxed{
\theta = 2 \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)
}
\]
এখানে \(a = 12\), \(b = 4\)।

তাহলে,
\[
\theta = 2 \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right) = 2 \tan^{-1} \left(\frac{4}{12}\right) = 2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)
\]

তাই, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান হলো:
\[
\boxed{
2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)
}
\]
অথবা, উপযুক্ত রূপে লেখা হলে,
\[
2 \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right) = 2 \tan^{-1} \left(\frac{4}{12}\right) = 2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)
\]
যা মূল উত্তরে দেওয়া হয়েছে: **"2 tan-1 5"**। তবে, বাস্তবে, এই মান প্রকৃতপক্ষে \(\frac{b}{a} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), তাই সঠিক উত্তর হবে:
\[
2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)
\]