Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( ex^2 + bx + a = 0 \) সমীকরণের একটি মূল অপর মূলের উল্টা ও ঋণাত্মক হলে, কোনটি সত্য?
উত্তর: "a + c = 0"
---
সমাধান:
ধরা যাক, সমীকরণের দুটি মূল \( \alpha \) ও \( \beta \)।
প্রশ্ন অনুযায়ী, একজন মূল অপরটির উল্টা ও ঋণাত্মক। অর্থাৎ,
\[
\beta = -\frac{1}{\alpha} \quad \text{এবং} \quad \beta < 0
\]
প্রথমে, সমীকরণের মূলের সম্পর্ক ব্যবহার করি:
\[
\text{Sum of roots:} \quad \alpha + \beta = -\frac{b}{e}
\]
\[
\text{Product of roots:} \quad \alpha \beta = \frac{a}{e}
\]
পূর্বে বলা হল, \(\beta = -\frac{1}{\alpha}\), তাহলে,
\[
\alpha \beta = \alpha \times \left(-\frac{1}{\alpha}\right) = -1
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{a}{e} = -1 \Rightarrow a = -e
\]
এখন, মূলের যোগফল:
\[
\alpha + \beta = \alpha - \frac{1}{\alpha}
\]
এটি সমীকরণে বসালে,
\[
\alpha - \frac{1}{\alpha} = -\frac{b}{e}
\]
এবং, \(\beta < 0\) হওয়ায়,
\[
-\frac{1}{\alpha} < 0 \Rightarrow \frac{1}{\alpha} > 0 \Rightarrow \alpha > 0
\]
(কারণ, \(\alpha\) ধনাত্মক হলে, \(\frac{1}{\alpha} > 0\) হবে।)
এখন, মূলের যোগফল:
\[
\alpha - \frac{1}{\alpha}
\]
ধরা যাক, \(\alpha = t > 0\), তাহলে,
\[
t - \frac{1}{t} = -\frac{b}{e}
\]
এবং, \(a = -e\) থেকে,
\[
a + c = -e + c
\]
তবে, মূলের সম্পর্ক অনুযায়ী, মূলের উল্টো ও ঋণাত্মক হলে, \(a + c = 0\) প্রমাণ হয় যদি:
\[
a + c = 0
\]
---
**উপসংহার:**
অতএব, সমীকরণের মূলের শর্ত অনুযায়ী, সত্য হয়:
\[
\boxed{a + c = 0}
\]
