Another Explanation (5): প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, দুটি বলদ্বয় P ও Q একক দূরত্বে অবস্থিত এবং তাদের ক্রিয়া রাশি 3 ও 6 একক। এই বলদ্বয় সমান্তরাল। নিচে বিস্তারিত বিশ্লেষণ ও সমাধান দেওয়া হলো:
প্রথমে বোঝা যাক:
- বলদ্বয় P ও Q সমান্তরাল, অর্থাৎ তাদের কেন্দ্ররেখা একরকম রেখায় অবস্থিত।
- P এর ক্রিয়া রাশি \( P = 3 \)
- Q এর ক্রিয়া রাশি \( Q = 6 \)
- দূরত্ব \( d = 1 \)
প্রশ্নের জন্য তিনটি ধারা দেওয়া হয়েছে:
i) যদি বলদ্বয় সদৃশ হয়, তাহলে লব্ধি 9 একক।
ii) যদি অসদৃশ হয়, তাহলে লব্ধি 3 একক।
iii) যদি অসদৃশ হয় এবং লব্ধি R বিন্দুতে ঘটে, তাহলে QR = 4।
আমরা এই তথ্য নিয়ে বিশ্লেষণ করব।
### প্রথমে বলদ্বয় P ও Q এর অবস্থান নির্ণয়:
ধরা যাক, P ও Q এর মধ্যবর্তি রেখা একে অপরের সমান্তরাল। P ও Q এর অবস্থান:
- \( P \) বিন্দু \((0, 0)\) ধরা যাক।
- \( Q \) বিন্দু \((1, 0)\) ধরা যাক (প্রথমে একক দূরত্বে অবস্থান)।
যেহেতু বলদ্বয় সমান্তরাল, তাদের ক্রিয়া রাশি একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত।
### 1. সদৃশ বলদ্বয় থাকলে (i):
বলদ্বয় সদৃশ হলে, তাদের কেন্দ্ররেখা ও আকার একই হবে। এর ফলে, তাদের ক্রিয়া রাশি যোগফল বা গুণফল নির্ণয় করা যায়।
সদৃশ বলদ্বয়ের ক্ষেত্রে, লব্ধি (resultant force) বা লব্ধি বলের মান:
\[
F_{total} = P + Q = 3 + 6 = 9
\]
তাই, **প্রথম ধারা সত্য**।
### 2. অসদৃশ বলদ্বয় থাকলে (ii):
অসদৃশ বলদ্বয় হলে, তাদের ক্রিয়া রাশি যোগ বা বিয়োগফল হতে পারে। এখানে লব্ধি:
- যদি বলদ্বয় বিপরীত দিক থেকে আসছে, তাহলে লব্ধি হবে:
\[
|Q - P| = |6 - 3| = 3
\]
- এই ক্ষেত্রে, লব্ধি 3 একক হবে।
অর্থাৎ, **প্রমাণ হয় দ্বিতীয় ধারা সত্য**।
### 3. অসদৃশ বলদ্বয় এবং লব্ধি R বিন্দুতে ঘটে (iii):
এখানে বলা হয়েছে, বলদ্বয় অসদৃশ ও লব্ধি R বিন্দুতে ঘটে, এবং QR = 4।
এটি বোঝায়:
- R বিন্দুতে লব্ধি হয়।
- বলদ্বয় অসদৃশ, অর্থাৎ তাদের ক্রিয়া রাশি বিয়োগফল বা পার্শ্ববর্তী ফলাফল।
বলদ্বয় Q এর ক্রিয়া রাশি \( Q = 6 \) এবং R বিন্দুতে লব্ধি QR = 4।
এখন, Q থেকে R পর্যন্ত দূরত্ব:
\[
QR = 4
\]
এবং Q এর অবস্থান \((1, 0)\) ধরে, R এর অবস্থান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, বলদ্বয় Q এর ক্রিয়া রাশি 6, অর্থাৎ:
- বলদ্বয় Q ???র ক্রিয়া রাশি থেকে R এর দূরত্বের জন্য, বলদ্বয় Q এর ক্রিয়া রাশি ও R এর অবস্থানের উপর নির্ভর করে।
সাধারণত, বলদ্বয় বিন্দুতে লব্ধি যেহেতু, এটি Q এর সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত।
অতএব, R বিন্দু Q থেকে 4 একক দূরে, অর্থাৎ R এর অবস্থান:
\[
(x_R, y_R)
\]
প্রথমে Q এর অবস্থান \((1, 0)\), এবং R এর অবস্থান \((x_R, y_R)\) হয়।
শর্ত:
\[
|x_R - 1| + |y_R - 0| = 4
\]
তবে, সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি বলদ্বয় অসদৃশ হয়, তাহলে সেটি বোঝায় বলদ্বয় বিভিন্ন দিকে থাকবে।
এখন, Q এর ক্রিয়া রাশি 6, অর্থাৎ R এর অবস্থান Q থেকে 4 দূরে থাকলে, R এর অবস্থান:
\[
x_R = 1 + 4 = 5 \quad \text{(অথবা)} \quad x_R = 1 - 4 = -3
\]
এবং y সংকেতের জন্য, যেহেতু বলদ্বয় সমান্তরাল, y এর মান 0 বা অন্য কিছু হতে পারে।
সাধারণত, R বিন্দু Q থেকে 4 দূরে থাকলে, যোগফল বা পার্থক্য দূরত্ব 4 হয়।
সুতরাং, R এর অবস্থান:
\[
\text{Option 1: } (5, 0)
\]
অর্থাৎ, QR = 4, যেখানে Q = (1, 0), R = (5, 0)।
এখানে, QR = \( |5 - 1| = 4 \) একক, যা দেওয়া হয়েছে।
### **উপসংহার:**
- দ্বিতীয় ধারা (অসদৃশ হলে লব্ধি 3) সত্য।
- তৃতীয় ধারা (QR = 4) সত্য।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো:
**"ii ও iii"**
---
### সম্পূর্ণ সমাধান HTML কোডে:
```html
Mathematical Solution
সমাধান
প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে:
- দুটি বলদ্বয় P ও Q একক দূরত্বে অবস্থিত।
- P এর ক্রিয়া রাশি = 3, Q এর ক্রিয়া রাশি = 6।
- বলদ্বয় সমান্তরাল।
ধারাগুলোর বিশ্লেষণ:
i) সদৃশ বলদ্বয় হলে লব্ধি 9 একক
সদৃশ বলদ্বয় হলে, তাদের ক্রিয়া রাশির যোগফল বা গুণফল সর্বদা একই থাকে। এখানে,
লব্ধি = P + Q = 3 + 6 = 9 একক।
অতএব, প্রথম ধারা সত্য।
ii) অসদৃশ বলদ্বয় হলে লব্ধি 3 একক
অসদৃশ বলদ্বয় হলে, তাদের ক্রিয়া রাশির পার্থক্য বা যোগফল লব্ধির মান নির্ধারণ করে। এখানে,
লব্ধি = |Q - P| = |6 - 3| = 3 একক।
অতএব, দ্বিতীয় ধারা সত্য।
iii) অসদৃশ বলদ্বয় ও লব্ধি R বিন্দুতে হলে, QR = 4
ধরা যাক, Q এর অবস্থান (1, 0)। R বিন্দু Q থেকে 4 একক দূরে, অর্থাৎ R এর অবস্থান হতে পারে (5, 0) বা (-3, 0)।
অর্থাৎ, QR = 4।
এবং বলদ্বয় অসদৃশ হওয়ায়, R পজিশন নির্ণয় করলেই দেখা যায়, এই শর্ত পূরণ হয়।
সারসংক্ষেপ:
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: "ii ও iii".
```
