ΔABC  এ a=3,b=4,c=5  হলে-

1.  4=5cos A + 3cos C
2. cos(C/2) =1/√2
3. Δ=6 বর্গএকক

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

ΔABC এ a=3, b=4, c=5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

1. 4 = 5cos A + 3cos C
2. cos(C/2) = 1/√2
3. Δ = 6 বর্গ একক

সমাধান:

প্রথমে, ট্রাইএঙ্গুলার সূত্র ও কোসাইন আইন ব্যবহার করি।

দেওয়া: a=3, b=4, c=5।

1. কোসাইন আইন থেকে কোসাইন মান নির্ণয়:

কোসাইন আইন:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] \[ 5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos C \] \[ 25 = 9 + 16 - 24 \cos C \] \[ 25 = 25 - 24 \cos C \] \[ 24 \cos C = 0 \] \[ \Rightarrow \cos C = 0 \] => \(\cos C = 0\) এখন, কোসাইন মান দিয়ে কৌণিক মান নির্ণয়: \[ \cos C = 0 \Rightarrow C = 90^\circ \] এবং, কোসাইন আইন দিয়ে অন্য কোণ নির্ণয় করি: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8 \] => \(\cos A = 0.8\) এবং, \(\cos C = 0\) এখন, প্রথম বিকল্প যাচাই করি: 1. 4 = 5cos A + 3cos C \[ \Rightarrow 5 \times 0.8 + 3 \times 0 = 4 + 0 = 4 \] সুতরাং, প্রথমটি সত্য। ---

2. দ্বিতীয়টি: \(\cos (C/2) = 1/\sqrt{2}\)

যেহেতু C = 90°, তাহলে: \[ C/2 = 45^\circ \] এবং, \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] সুতরাং, দ্বিতীয়টি সত্য। ---

3. তৃতীয়টি: \(\Delta = 6\) বর্গ একক

অংকের মাধ্যমে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি: অক্ষাংশে, হেরনের সূত্র: \[ \text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A \] প্রথম, \(\sin A\) নির্ণয় করি: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \] \[ \sin A = \sqrt{1 - (\cos A)^2} = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6 \] অতএব, \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times 0.6 = 2 \times 5 \times 0.6 = 10 \times 0.6 = 6 \] সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\Delta = 6\) বর্গ একক, যা সত্য। ---

উপসংহার:

সকল বিবৃতি সঠিক। তাই, উত্তর: i, ii & iii।