পূর্ণসংখ্যা সহগসহ দ্বিমাত্রিক সমীকরণ, যার একটি মূল √(-5)-1 :

সমস্যা:

একটি দ্বিমাত্রিক সমীকরণ খুঁজে বের করুন যার একটি মূল হলো \( \sqrt{-5} - 1 \) এবং সমীকরণটি পূর্ণসংখ্যা সহগসহ।

সমাধান:

প্রথমত, মূলটি হলো:

\( \alpha = \sqrt{-5} - 1 \)

এখন, আমরা জানি যে, \(\sqrt{-5} = i \sqrt{5}\), যেখানে \(i^2 = -1\)।

অর্থাৎ, মূলটি হলো:

\( \alpha = i \sqrt{5} - 1 \)

সমীকরণের মূল \(\alpha\) এর জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা সহগসহ দ্বিমাত্রিক সমীকরণের প্রয়োজন, যেখানে মূল \(\alpha\) এর সমাধান হবে।

ধাপ ১: মূলের কনজুগেট নির্ণয়

মূলের কনজুগেট হলো:

\( \overline{\alpha} = -i \sqrt{5} - 1 \)

ধাপ ২: মূল ও এর কনজুগেটের গুণফল নির্ণয়

মূল ও এর কনজুগেটের গুণফল হলো:

\( (\alpha) (\overline{\alpha}) = (i \sqrt{5} - 1)(-i \sqrt{5} - 1) \)

গুণফলটি সমাধান করি:

\( = [i \sqrt{5} \times (-i \sqrt{5})] + [i \sqrt{5} \times (-1)] + [-1 \times -i \sqrt{5}] + [-1 \times -1] \)

= \( - i^2 \times 5 - i \sqrt{5} + i \sqrt{5} + 1 \)

= \( - (-1) \times 5 + 0 + 1 \) (কারণ, \( i \sqrt{5} - i \sqrt{5} = 0 \))

= \( 5 + 1 = 6 \)

ধাপ ৩: মূলের যোগফল নির্ণয়

মূল ও এর কনজুগেটের যোগফল:

\( \alpha + \overline{\alpha} = (i \sqrt{5} - 1) + (-i \sqrt{5} - 1) = -2 \)

ধাপ ৪: সমীকরণ গঠনের জন্য প্রয়োজনীয় তথ্য

একটি দ্বিমাত্রিক সমীকরণের জন্য সাধারণ ফর্ম হলো:

\( x^2 - (\text{যোগফল}) x + (\text{গুণফল}) = 0 \)

এখানে, যোগফল = \(-2\), গুণফল = \(6\)

অতএব, সমীকরণ:

\( x^2 - (-2) x + 6 = 0 \)

বা:

\( x^2 + 2x + 6 = 0 \)

উত্তর:

সমীকরণ হলো: \( x^2 + 2x + 6 = 0 \)