\( \sin^{-1}x+\cos^{-1}x \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি, যে কোনো \(x\) এর জন্যে:

• \(\sin^{-1}x\) বা \(\arcsin x\) এর রেঞ্জ হলো \(-\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\)
• \(\cos^{-1}x\) বা \(\arccos x\) এর রেঞ্জ হলো \(0\) থেকে \(\pi\)

প্রমাণ:

ধরি, \( y = \sin^{-1}x \), অর্থাৎ, \[ x = \sin y \] এবং যেহেতু \( y \) এর রেঞ্জ হলো \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)।

অতএব, \(\cos^{-1}x = \arccos x\)। এখন, আমরা জানি যে: \[ \sin y = x \] এবং, \[ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y = x \] অর্থাৎ, \[ \arccos x = \frac{\pi}{2} - y \] যেহেতু \( y = \sin^{-1}x \), তাহলে: \[ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x \] এখন, যোগফল: \[ \sin^{-1}x + \arccos x = y + \left( \frac{\pi}{2} - y \right) = \frac{\pi}{2} \] অতএব: \[ \boxed{ \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} } \]