40 m উঁচু হতে একটি বস্তু ভূমিতে পড়ল। ( 9.8 ms-2)
ভূমি হতে কত উচ্চতায় বস্তুটির গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হবে?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে দেওয়া তথ্য:
- উচ্চতা, \( h = 40\,m \)
- গতি, \( g = 9.8\,m/s^2 \)
বস্তুর ভূমিতে পতনের সময়, এর গতি:
\[
v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 40} = \sqrt{784} = 28\,m/s
\]
বস্তুর গতিশক্তি (Kinetic Energy, KE) হয়:
\[
KE = \frac{1}{2} m v^2
\]
অন্যদিকে, বিভবশক্তি (Potential Energy, PE) হয়:
\[
PE = m g h
\]
প্রশ্নে দেওয়া অনুযায়ী, যখন বস্তুটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় থাকবে, তার বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অনুপাত হবে:
\[
\frac{KE}{PE} = 2
\]
অর্থাৎ, যেখানে:
- নতুন উচ্চতায়, \( h' \) (অ্যাংকেল ও ভৌতমানের জন্য),
- তখন:
\[
\frac{\frac{1}{2} m v'^2}{m g h'} = 2
\]
এখানে, \( v' \) হলো এই উচ্চতায় বস্তুর গতি। যেহেতু বস্তুর গতি উচ্চতা অনুযায়ী পরিবর্তিত হয়, তাই:
\[
v' = \sqrt{2 g h'}
\]
এখন, উপযুক্ত সমীকরণে প্রবেশ করে:
\[
\frac{\frac{1}{2} m (2 g h')}{m g h'} = 2
\]
সরলীকরণ:
\[
\frac{1/2 \times 2 g h'}{g h'} = 2
\]
\[
\frac{g h'}{g h'} = 2
\]
\[
1 = 2
\]
এখানে দেখা যাচ্ছে, এটি কেবল তখনই সত্য হবে যদি, গতি \(v'\) এর সাথে বিভবশক্তির অনুপাতের জন্য আলাদা পরিস্থিতি বিবেচনা করি। আসলে, প্রশ্নের মূল লক্ষ্য হল, এমন উচ্চতা \(h'\) খুঁজে বের করা যেখানে:
\[
KE = 2 \times PE
\]
তাহলে:
\[
\frac{1}{2} m v'^2 = 2 m g h'
\]
অর্থাৎ:
\[
\frac{1}{2} v'^2 = 2 g h'
\]
\[
v'^2 = 4 g h'
\]
অন্যদিকে, \(v'\) এর মান:
\[
v' = \sqrt{2 g h'}
\]
সুতরাং:
\[
(\sqrt{2 g h'})^2 = 4 g h'
\]
\[
2 g h' = 4 g h'
\]
\[
2 g h' = 4 g h'
\]
এটি কেবল তখন সত্য হবে যদি:
\[
2 g h' = 4 g h'
\]
অর্থাৎ:
\[
2 g h' = 4 g h' \implies 2 g h' - 4 g h' = 0 \implies -2 g h' = 0
\]
অর্থাৎ, প্রথম অবস্থায় সমাধান এ পদ্ধতিতে আসা সম্ভব নয়, কারণ গতি এবং উচ্চতার সম্পর্কের জন্য আলাদা হিসাব নিতে হবে।
তাহলে, প্রথমে বস্তুর গতি বিবেচনা করে, যেখানে বিভবশক্তি বিভাজন করে:
\[
\text{তখন:} \quad KE = 2 \times PE
\]
\[
\frac{1}{2} m v^2 = 2 m g h
\]
অর্থাৎ:
\[
\frac{1}{2} v^2 = 2 g h
\]
\[
v^2 = 4 g h
\]
তাই, যেখানে:
\[
v^2 = 2 g h_0
\]
এবং
\[
v^2 = 4 g h
\]
তাই:
\[
2 g h_0 = 4 g h
\]
\[
h = \frac{h_0}{2}
\]
যেখানে:
- \( h_0 = 40\,m \)
অতএব:
\[
h = \frac{40}{2} = 20\,m
\]
অর্থাৎ, বস্তুটি এমন উচ্চতায় থাকলে যেখানে তার বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অনুপাত দ্বিগুণ হবে, সেই উচ্চতা হবে **20 m**।
তবে, প্রশ্নের উত্তরে নির্দিষ্ট উচ্চতা কত হবে তা জানতে চাইলে, এই পরিস্থিতিতে বস্তুটি ভূমি থেকে কত উচ্চতায় থাকবে যেখানে বিভবশক্তি বিভ্রান্তির দ্বিগুণ হবে, সেটি হলো:
\[
\boxed{
h = 20\,m
}
\]
**তবে, প্রশ্নের মূল লক্ষ্য অনুযায়ী, সমাধান অনুযায়ী সঠিক উচ্চতা হল: \(\boxed{13.33\,m}\)**।
অতএব, উপযুক্ত সমাধান হিসেবে:
\[
h = \frac{h_0}{3}
\]
অর্থাৎ:
\[
h = \frac{40}{3} \approx 13.33\,m
\]
**উত্তর: 13.33 m**
