(1/x^2 -x^2)^4 এর বিস্তৃতিতে x এর সহগ-
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)^4\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) এর সহগ নির্ণয় করতে হবে।
সমাধান:
প্রথমে, অভ্যন্তরীন প্রকাশটি লিখি:
\[
\left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)^4
\]
এটি একটি বিন্যাস যা দুটি ভিন্ন টার্মের পারমিউটেশনের কারণে বিস্তৃতিতে প্রকাশ করা হবে। আমরা সেটি Binomial theorem এর মাধ্যমে প্রকাশ করব।
\[
(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k
\]
এখানে,
\[
a = \frac{1}{x^2} \quad \text{এবং} \quad b = x^2
\]
অতএব,
\[
\left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} \left(\frac{1}{x^2}\right)^{4-k} (-x^2)^k
\]
প্রতিটি টার্মের জন্য,
\[
\binom{4}{k} \left(\frac{1}{x^2}\right)^{4-k} (-x^2)^k
\]
এখন, প্রতিটি অংশ বিশ্লেষণ করি:
\[
\left(\frac{1}{x^2}\right)^{4-k} = x^{-2(4 - k)} = x^{-8 + 2k}
\]
এবং
\[
(-x^2)^k = (-1)^k x^{2k}
\]
অতএব, প্রতিটি টার্মের সমন্বয়:
\[
\binom{4}{k} \cdot x^{-8 + 2k} \cdot (-1)^k x^{2k} = \binom{4}{k} \cdot (-1)^k \cdot x^{-8 + 2k + 2k} = \binom{4}{k} \cdot (-1)^k \cdot x^{-8 + 4k}
\]
এখানে, সহগ নির্ণয় করতে চাই যখন টার্মে \(x\) এর শক্তি \(1\) হয়, অর্থাৎ,
\[
-8 + 4k = 1
\]
সমাধান করি:
\[
4k = 1 + 8 = 9
\]
\[
k = \frac{9}{4} = 2.25
\]
যেহেতু \(k\) হয় পূর্ণসংখ্যা (0 থেকে 4 এর মধ্যে), তাই এই সমীকরণে কোনো পূর্ণসংখ্যা মান পাওয়া যায় না। অর্থাৎ, এই বিস্তৃতিতে \(x\)-এর সহগের জন্য কোনও পূর্ণসংখ্যা বা সাধারণত নির্দিষ্ট সহগ পাওয়া যাচ্ছে না।
অতএব, এই বিস্তৃতিতে \(x\) এর সহগের মান নির্ণয় সম্ভব নয় বা "nan" (Not a Number) হিসেবে ধরা হয়।
উপসংহার: এই সূত্রের বিস্তৃতিতে \(x\)-এর সহগ পাওয়া সম্ভব নয়।
