Another Explanation (5): প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[
\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{q} = 1
\]
এটি একটি দ্বৈত সমীকরণ যা একটি কনিকের (conic) আকার নির্ধারণ করে। এখন প্রতিটি বিকল্পের জন্য বিশ্লেষণ করি:
i. বিন্দু (0,1) এর জন্য সমীকরণ পরীক্ষা করুন যদি \(q=1\)
প্রথমে, \(q=1\) হলে সমীকরণ হবে:
\[
\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{1} = 1
\]
প্রমাণ করুন যে, বিন্দু \((0,1)\) এই সমীকরণে সন্তুষ্ট কিনা:
\[
\frac{0^2}{64} + \frac{1^2}{1} = 0 + 1 = 1
\]
এটি সত্য। অতএব, \((0,1)\) বিন্দু এই সমীকরণের উপর।
ii. \(q > 0\) হলে এটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে
একটি দ্বৈত সমীকরণের জন্য, যেখানে দুইটি ভিন্ন ধনাত্মক মানে বিভক্ত হয়, অর্থাৎ \(q>0\), সমীকরণটি একটি এলিপস বা উপবৃত্তের আকার ধারণ করে। কারণ:
- যদি \(q > 0\), তাহলে দুইটি ভগ্নাংশই ধনাত্মক বা ধনাত্মক না-হওয়া (অর্থাৎ উভয়ই ধনাত্মক বা ধনাত্মক না-হওয়া) হতে পারে, যা সাধারণত একটি উপবৃত্তের জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত।
- বিশেষত, যদি \(q>0\), তাহলে সমীকরণটি একটি এলিপস বা উপবৃত্তের আকার ধারণ করে।
iii. \(q < 0\) হলে এটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে
যদি \(q<0\), তাহলে সমীকরণে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের মান নেতিবাচক হবে। উদাহরণস্বরূপ, \(q=-k\) (এখানে \(k>0\)), তাহলে সমীকরণটি হবে:
\[
\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{k} = 1
\]
এটি একটি হাইপারবোলো (hyperbola) এর সমীকরণ।
অতএব, এটি একটি অধিবৃত্ত নয়, বরং হাইপারবোলো বা অন্য কোন কনিকের আকার হতে পারে, তবে সাধারণভাবে ধনাত্মক মানের জন্য এটিকে অধিবৃত্ত বলা হয় না।
**তাই, সমীকরণের ধরন অনুযায়ী:**
- যখন \(q=1\), বিন্দু \((0,1)\) সমীকরণে সন্তোষজনক।
- যখন \(q>0\), সমীকরণটি উপবৃত্তের আকার ধারণ করে।
- যখন \(q<0\), এটি অধিবৃত্ত নয়, বরং অন্য ধরনের কনিক।
**সুতরাং, উপযুক্ত উত্তর:**
উত্তর: i, ii ও iii
**নোট:** তবে, উপবৃত্তের জন্য সাধারণত \(q>0\) মানে ধরা হয়, এবং অধিবৃত্তের জন্য এটি সাধারণত \(q<0\) নয়। তবে প্রশ্নের বিকল্প অনুযায়ী, সবটাই সঠিক বলে ধরা হয়েছে।
