Another Explanation (5): প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, একটি বস্তুকণা গতিবেগ \(u\) দিয়ে অনুভূমিকের সাথে কোণে \( \alpha \) প্রক্ষিপ্ত হলে নিম্নলিখিত বিষয়ের বিশ্লেষণ করব।
**(i) বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত:**
প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার গতি:
- অনুভূমিক গতি: \( u_x = u \cos \alpha \)
- উল্লম্ব গতি: \( u_y = u \sin \alpha \)
বায়ুশূন্য স্থানে, বাহ্যিক বলের অভাবে, উল্লম্ব ও অনুভূমিক গতি পৃথকভাবে বিবেচিত হয়। উল্লম্ব দিকের জন্য, গতি ও অবস্থান:
\[
y(t) = u \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
\]
অন্যদিকে, অনুভূমিক দিকের জন্য:
\[
x(t) = u \cos \alpha \cdot t
\]
উল্লম্ব গতি ও অনুভূমিক গতি পৃথকভাবে থাকায়, উল্লম্ব গতি একটি উল্লম্ব প্রকৃতি সম্পন্ন পরাবৃত্ত (parabola) তৈরি করে। তবে, যদি কোন নির্দিষ্ট প্রক্ষিপ্ত কোণের জন্য, গঠনটি একটি পরাবৃত্তের মতো মনে হয়, যা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট অবস্থায় ঘটে যখন গতি ও দূরত্বের সম্পর্ক নির্দিষ্ট হয়।
প্রক্ষিপ্ত গতি ও পথের জন্য, বাস্তব পরিস্থিতিতে, সাধারণত বলের কারণে, বস্তুকণার পথ একটি পরাবৃত্তের মতো হয় না। তবে, যদি বলের অভাবে, কেবলমাত্র অনুভূমিক ও উল্লম্ব গতি থাকত, তাহলে উল্লম্ব গতি একটি পারabোলিক পথ দেখায়।
অতএব, **(i)** বিবৃতি ভুল, কারণ বায়ুশূন্য স্থানে গতি দিয়ে প্রক্ষিপ্ত কণা সাধারণত একটি পারabোলিক পথ তৈরি করে, না কি একটি পরাবৃত্ত।
**(ii) আনুভূমিক পাল্লা \( R \) বৃহত্তম হলে,**
প্রক্ষিপ্ত গতি:
\[
R = \frac{u^2}{g} \sin 2\alpha
\]
এটি মূলত প্রক্ষিপ্ত পথের সর্বোচ্চ দূরত্ব বা পরাবৃত্তের ব্যাসের সমান। এই সম্পর্কটি সাধারণত প্রক্ষিপ্ত গতি ও প্রক্ষিপ্ত কোণের জন্য ব্যবহৃত হয়।
সুতরাং, যখন \( R \) সর্বোচ্চ হয়, তখন:
\[
\sin 2\alpha = 1 \Rightarrow 2\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ
\]
অর্থাৎ, \( R \) সর্বোচ্চ হয় যখন \(\alpha = 45^\circ\)।
**(iii) \( R = \frac{u^2}{g} \)**
এটি একটি ভুল বিবৃতি, কারণ সঠিক সম্পর্ক হলো:
\[
R = \frac{u^2}{g} \sin 2\alpha
\]
তাহলে, কেবলমাত্র \(\alpha=45^\circ\) হলে,
\[
R_{\max} = \frac{u^2}{g}
\]
**(iv) বস্তুকণাটির বিচরণকাল:**
বিচরণকাল (Time of flight):
\[
T = \frac{2 u \sin \alpha}{g}
\]
এটি প্রক্ষিপ্ত গতি ও কোণের উপর নির্ভর করে।
**উপসংহার:**
প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে: "i ও ii" সঠিক। কিন্তু উপরে বিশ্লেষণে দেখা যায়:
- (i) ভুল, কারণ গতি দিয়ে গঠিত পথ সাধারণত পরাবৃত্ত নয়।
- (ii) সঠিক, কারণ \( R \) সর্বোচ্চ হয় যখন \(\alpha=45^\circ\)।
অতএব, **সঠিক উত্তর: "ii"**। তবে প্রশ্নের উত্তর হিসেবে "i ও ii" দেওয়া হয়েছে, যা ভুল। উপযুক্ত উত্তর হবে শুধু "ii"।
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
```html
সঠিক উত্তর: ii
```
