একটি উপবৃত্তের কেন্দ্র \( \left(\frac{19}{3}, 0\right) \) এবং একটি ফোকাস বিন্দু \( (5,0) \) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \( \frac{1}{2} \) হলে উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: একটি উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য উপবৃত্তের সূত্র ব্যবহার করতে হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{32\sqrt{3}}{3} \pi \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. \( \frac{32}{\sqrt{3}} \pi \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( \frac{19\sqrt{3}}{3} \pi \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( \frac{32\sqrt{3}}{9} \pi \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। E. \( \frac{19\sqrt{5}}{3} \pi \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে সাধারণত উৎকেন্দ্রিকতা এবং বৃত্ত??র মান ব্যবহার করতে হয়।

Another Explanation (5): ```html

উপবৃত্তের কেন্দ্র \( \left(\frac{19}{3}, 0\right) \) এবং একটি ফোকাস \( (5,0) \) দেওয়া আছে।

আমরা জানি, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (h, k) \) এবং ফোকাসের স্থানাঙ্ক \( (h \pm ae, k) \) হয়। এখানে \( k = 0 \)।

সুতরাং, \( h = \frac{19}{3} \) এবং \( h - ae = 5 \) (যেহেতু ফোকাস কেন্দ্রের বাম দিকে)।

অতএব, \( \frac{19}{3} - a \cdot \frac{1}{2} = 5 \)

\( \Rightarrow \frac{19}{3} - \frac{a}{2} = 5 \)

\( \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{19}{3} - 5 = \frac{19 - 15}{3} = \frac{4}{3} \)

\( \Rightarrow a = \frac{8}{3} \)

আমরা জানি, \( b^2 = a^2 (1 - e^2) \)

\( \Rightarrow b^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \)

\( \Rightarrow b^2 = \frac{64}{9} \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16}{3} \)

\( \Rightarrow b = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \)

উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \( A = \pi ab \)

\( \Rightarrow A = \pi \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{32\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}\pi}{9} \) বর্গ একক।

সুতরাং, উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \( \frac{32\sqrt{3}}{9} \pi \) বর্গ একক। 🎉

```