Another Explanation (5): প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান:
আমাদের অ্যারে \(A\) দেওয়া হয়েছে:
A = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & 1
\end{bmatrix}
ধাপ ১: ডিটারমিন্যান্ট (Determinant) গণনা:
|A| = (2)(1) - (3)(4) = 2 - 12 = -10
ধাপ ২: অ্যাডজয়েন্ট (Adjugate) ম্যাট্রিক্সের উপাদান নির্ণয়:
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের উপাদান হল প্রতিটি উপাদানের জন্য কনজুগেট মিনর, অর্থাৎ প্রতিটি উপাদানের জন্য 2x2 মিনর গুণফল গুণে তার স্থানান্তর (transpose) নেওয়া হয়।
প্রতিটি উপাদানের মিনর:
- M11: উপাদান (1,1): বাদে প্রথম সারি ও প্রথম কলাম, মিনর হলো:
\[
M_{11} = \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} = 1
\]
কিন্তু এই ক্ষেত্রে, মিনর এর জন্য মূলত কনজুগেট মিনর নির্ণয় করতে গেলে মূলত:
\[
M_{ij} = (-1)^{i+j} \times \det (\text{অন্য সব উপাদান বাদ দেওয়া})
\]
- M12: উপাদান (1,2):
বাদে প্রথম সারি ও দ্বিতীয় কলাম, মিনর:
\[
M_{12} = \det \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} = 4
\]
তবে, কনজুগেট মিনর:
\[
C_{12} = (-1)^{1+2} \times \det \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} = -4
\]
- M21: উপাদান (2,1):
বাদে দ্বিতীয় সারি ও প্রথম কলাম, মিনর:
\[
M_{21} = \det \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} = 3
\]
কনজুগেট মিনর:
\[
C_{21} = (-1)^{2+1} \times 3 = -3
\]
- M22: উপাদান (2,2):
বাদে দ্বিতীয় সারি ও দ্বিতীয় কলাম, মিনর:
\[
M_{22} = \det \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix} = 2
\]
কনজুগেট মিনর:
\[
C_{22} = (-1)^{2+2} \times 2 = 2
\]
ধাপ ৩: কনজুগেট মিনর ম্যাট্রিক্স গঠন:
C = \begin{bmatrix}
1 & -4 \\
-3 & 2
\end{bmatrix}
ধাপ ৪: অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স (adj \(A\)):
অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হল কনজুগেট মিনর ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ:
adj(A) = C^T = \begin{bmatrix}
1 & -3 \\
-4 & 2
\end{bmatrix}
উপসংহার:
অতএব,
adj \(A\) হল:
\boxed{
\begin{bmatrix}
1 & -3 \\
-4 & 2
\end{bmatrix}
}
উত্তর:
\( \left[ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \right]\) 
