(3,-1) বিন্দুগামী এবং \( x^2+y^2-6x+8y=0 \) বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক বৃত্তের সমীকরণ-

সমাধান:

প্রথমে, দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\[ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \]

ধাপ 1: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়

বৃত্তের সমীকরণটি সম্পন্ন করতে, আমরা পূর্ণবর্গের মাধ্যমে রূপান্তর করব।

প্রথমে, x-দৈর্ঘ্যের জন্য:

\[ x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9 \]

অপরদিকে, y-দৈর্ঘ্যের জন্য:

\[ y^2 + 8y = (y^2 + 8y + 16) - 16 = (y + 4)^2 - 16 \]

ধাপ 2: সমীকরণে স্থানান্তর

এখন, মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \]

এটি সরল করে লেখা যায়:

\[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \]

ধাপ 3: মূল বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়

অতএব, মূল বৃত্তের কেন্দ্র হলো:

\[ C_1 = (3, -4) \]

এবং ব্যাসার্ধ:

\[ r_1 = \sqrt{25} = 5 \]

ধাপ 4: এককেন্দ্রিক বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়

প্রশ্নে দেওয়া যে বিন্দুটি \( (3, -1) \), এটি মূল বৃত্তের কেন্দ্র থেকে তার দূরত্ব নির্ণয় করি:

\[ d = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-1 + 4)^2} = \sqrt{0 + 3^2} = 3 \]

অতএব, এককেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে:

\[ r_2 = d = 3 \]

এবং এর কেন্দ্র একই হবে, অর্থাৎ:

\[ C_2 = (3, -4) \]

ধাপ 5: এককেন্দ্রিক বৃত্তের সমীকরণ

অতএব, সমীকরণ হবে:

\[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 3^2 = 9 \]

এটি খোলা রূপে লিখলে:

\[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 \]

পরিশেষে:

প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে, মূল বৃত্তের সমীকরণের সাথে এককেন্দ্রিক বৃত্তের সমীকরণ। যেহেতু কেন্দ্র একই এবং ব্যাসার্ধের পার্থক্য রয়েছে, তবে যেখানে মূল বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ দেওয়া হয়েছে, সেখানে নতুন বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\[ x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0 \]