\( 3y+7=0 \) সরলরেখাটি \( 3x^2 - 4y + 6x - 5 = 0 \) কণিকের কিসের সমীকরণ নির্দেশ করে?

প্রশ্নানুসারে, সরলরেখাটির সমীকরণ \( 3y+7=0 \) অর্থাৎ \( y = -\frac{7}{3} \) এবং কনিকের সমীকরণ \( 3x^2 - 4y + 6x - 5 = 0 \) ।

কনিকের সমীকরণটিকে \( x \) এর সাপেক্ষে পূর্নবর্গ করে পাই:

\( 3x^2 + 6x - 4y - 5 = 0 \)

\( 3(x^2 + 2x) = 4y + 5 \)

\( 3(x^2 + 2x + 1) = 4y + 5 + 3 \)

\( 3(x+1)^2 = 4y + 8 \)

\( (x+1)^2 = \frac{4}{3}(y + 2) \)

এটি একটি প্যারাবলার parábola 🧑‍🏫 সমীকরণ, যার আকার \( (x-h)^2 = 4a(y-k) \) এর মতো। এখানে,

• শীর্ষবিন্দু vertex 📍 \( (-1, -2) \)
• \( 4a = \frac{4}{3} \) সুতরাং \( a = \frac{1}{3} \)

যেহেতু এটি একটি প্যারাবলা, তাই এর:

• অক্ষ axis 📏 \( x = -1 \)
• উপকেন্দ্র focus ✨ \( (-1, -2 + a) = (-1, -2 + \frac{1}{3}) = (-1, -\frac{5}{3}) \)
• নিয়ামক director 🧲 \( y = -2 - a = -2 - \frac{1}{3} = -\frac{7}{3} \)

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ \( y = -\frac{7}{3} \), যা প্যারাবলার নিয়ামকের director 🧲 সমীকরণ।

অতএব, \( 3y+7=0 \) সরলরেখাটি \( 3x^2 - 4y + 6x - 5 = 0 \) কনিকের নিয়ামকের সমীকরণ নির্দেশ করে। 🎉