Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y^2 - 3y - 2x + 8 = 0 \) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ হলে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে সমীকরণটি পরাবৃত্তের সাধারণ রূপে রূপান্তর করি। সমীকরণ:
\[
y^2 - 3y - 2x + 8 = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
y^2 - 3y = 2x - 8
\]
দুটি পাশে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি। প্রথমে \( y^2 - 3y \) এর জন্য:
\[
y^2 - 3y = y^2 - 3y + \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{-3}{2}\right)^2
\]
\[
= \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4}
\]
অতএব,
\[
\left( y - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} = 2x - 8
\]
উভয় পাশে যোগ করি \(\frac{9}{4}\):
\[
\left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2x - 8 + \frac{9}{4}
\]
প্রথমে সমান করতে সব কিছুকে একত্র করি:
\[
2x - 8 = 2x - \frac{32}{4}
\]
অতএব,
\[
\left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2x - \frac{32}{4} + \frac{9}{4} = 2x - \frac{23}{4}
\]
এখন, সমীকরণটি:
\[
\left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2x - \frac{23}{4}
\]
অথবা,
\[
\left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \left( x - \frac{23}{8} \right)
\]
এটি একটি পরাবৃত্তের মানদণ্ডে রূপান্তর হয়েছে, যেখানে:
\[
\left( y - k \right)^2 = 4p (x - h)
\]
এখানে,
\[
k = \frac{3}{2}, \quad 4p = 2 \Rightarrow p = \frac{1}{2}, \quad h = \frac{23}{8}
\]
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (vertex) এর জন্য:
\[
x = h = \frac{23}{8}
\]
\[
y = k = \frac{3}{2}
\]
অতএব, শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\[
\boxed{\left( \frac{23}{8}, \frac{3}{2} \right)}
\]
