It takes 5 minutes to decrease the temperature of a material from 80°C to 64°C and it takes 10 minutes to decrease from 80°C to 52°C. What is the ambient temperature ?  

ধরি, পরিবেষ্টিত তাপমাত্রা \( T_a \) এবং তাপমাত্রা হ্রাসের হার \( k \)। নিউটনের শীতলীকরণ সূত্রানুসারে,

\(\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)\)

প্রথম ক্ষেত্রে, \( t = 5 \) মিনিটে তাপমাত্রা \( 80^\circ C \) থেকে \( 64^\circ C \) এ নেমে আসে। সুতরাং,

\(\int_{80}^{64} \frac{dT}{T - T_a} = -k \int_0^5 dt\)

\(\ln\left(\frac{64 - T_a}{80 - T_a}\right) = -5k \qquad \cdots (1)\)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \( t = 10 \) মিনিটে তাপমাত্রা \( 80^\circ C \) থেকে \( 52^\circ C \) এ নেমে আসে। সুতরাং,

\(\int_{80}^{52} \frac{dT}{T - T_a} = -k \int_0^{10} dt\)

\(\ln\left(\frac{52 - T_a}{80 - T_a}\right) = -10k \qquad \cdots (2)\)

এখন, সমীকরণ (1) থেকে \( k \) এর মান পাই,

\(k = -\frac{1}{5} \ln\left(\frac{64 - T_a}{80 - T_a}\right)\)

এই মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\(\ln\left(\frac{52 - T_a}{80 - T_a}\right) = -10 \left(-\frac{1}{5} \ln\left(\frac{64 - T_a}{80 - T_a}\right)\right)\)

\(\ln\left(\frac{52 - T_a}{80 - T_a}\right) = 2 \ln\left(\frac{64 - T_a}{80 - T_a}\right)\)

\(\ln\left(\frac{52 - T_a}{80 - T_a}\right) = \ln\left(\frac{64 - T_a}{80 - T_a}\right)^2\)

সুতরাং,

\(\frac{52 - T_a}{80 - T_a} = \left(\frac{64 - T_a}{80 - T_a}\right)^2\)

\((52 - T_a)(80 - T_a) = (64 - T_a)^2\)

\(4160 - 132T_a + T_a^2 = 4096 - 128T_a + T_a^2\)

\(4160 - 4096 = 132T_a - 128T_a\)

\(64 = 4T_a\)

\(T_a = \frac{64}{4} = 16\)

অতএব, পরিবেষ্টিত তাপমাত্রা \( 16^\circ C \). 🎉