A man buys some pens and pencils. The pen costs Tk. 7 each and the pencil costs Tk. 3 each. If the man spends exactly Tk. 81 and buys the maximum number of pen possible under these conditions, what is the ratio of pens to pencils?

একজন ব্যক্তি কিছু কলম ও পেন্সিল কিনলেন। প্রতিটি কলমের দাম 7 টাকা এবং প্রতিটি পেন্সিলের দাম 3 টাকা। যদি লোকটি ঠিক 81 টাকা খরচ করে এবং এই শর্তে সর্বাধিক সংখ্যক কলম কেনে, তবে কলম ও পেন্সিলের অনুপাত কত?

1. 3:2 (Correct)
2. 4:3 (Incorrect)
3. 5:2 (Incorrect)
4. 5:3 (Incorrect)
5. None (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

ধরি, লোকটি x টি কলম এবং y টি পেন্সিল কিনেছেন।

প্রশ্নানুসারে, 7x + 3y = 81

আমাদের x এর মান এমনভাবে বের করতে হবে যাতে তা সর্বোচ্চ হয় এবং y এর মান একটি অখণ্ড সংখ্যা হয়।

আমরা y এর জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:

3y = 81 - 7x

y = (81 - 7x) / 3

যেহেতু y একটি অখণ্ড সংখ্যা হতে হবে, তাই (81 - 7x) অবশ্যই 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

এখন আমরা x এর সম্ভাব্য মানগুলো বিবেচনা করি যাতে y অখণ্ড সংখ্যা হয়:

• যদি x = 0, y = 81 / 3 = 27
• যদি x = 3, y = (81 - 21) / 3 = 60 / 3 = 20
• যদি x = 6, y = (81 - 42) / 3 = 39 / 3 = 13
• যদি x = 9, y = (81 - 63) / 3 = 18 / 3 = 6
• যদি x = 12, y = (81 - 84) / 3 = -3 / 3 = -1 (সম্ভব নয়, কারণ পেন্সিলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)

সর্বাধিক সংখ্যক কলম কেনার শর্তে, x এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান হলো 9।

যখন x = 9, তখন y = 6।

অতএব, কলম ও পেন্সিলের অনুপাত হলো x : y = 9 : 6।

অনুপাতটিকে সরলীকরণ করা যাক:

9 : 6 = (9 ÷ 3) : (6 ÷ 3) = 3 : 2

সুতরাং, কলম ও পেন্সিলের অনুপাত হলো 3:2।

বিকল্পগুলির বিশ্লেষণ:

• A. 3:2 (সঠিক উত্তর)
• B. 4:3 (ভুল উত্তর)
• C. 5:2 (ভুল উত্তর)
• D. 5:3 (ভুল উত্তর)
• E. None (ভুল উত্তর)

সঠিক উত্তর: A. 3:2