Another Explanation (5):
Math Problem Solution
প্রশ্ন:
k এর মান কত হলে \((k + 1) x^2 + 2 (k + 3) x + 2k^3\) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
আমাদের দেওয়া ধরি, মূল রাশিটি হল:
\[ f(x) = (k + 1) x^2 + 2 (k + 3) x + 2k^3 \]
এখন, এই রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হলে তার ডিসক্রিমিনেন্ট (\(\Delta\)) ধনাত্মক বা শূন্য হতে হবে, এবং এটি অবশ্যই একটি স্কোয়ার সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ্য হতে হবে।
ধাপ ১: ডিসক্রিমিনেন্ট হিসাব করা
ডিসক্রিমিনেন্ট:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
এখানে,
\[
a = k + 1,\quad b = 2(k + 3),\quad c = 2k^3
\]
অতএব,
\[
\Delta = [2(k + 3)]^2 - 4(k + 1)(2k^3)
\]
\[
= 4(k + 3)^2 - 8(k + 1)k^3
\]
ধাপ ২: ডিসক্রিমিনেন্টের সরল রূপ
\[
\Delta = 4(k + 3)^2 - 8(k + 1)k^3
\]
\[
= 4[(k + 3)^2 - 2(k + 1)k^3]
\]
ধাপ ৩: পূর্ণবর্গ রূপের শর্ত
একটি দ্বিতীয় ডিগ্রি রাশি পূর্ণবর্গ হলে, তার সব মূল সমাধানই একক বা দ্বিগুণ হতে হবে। মূলত, এই রাশিটির জন্য, এটি একটি পূর্ণবর্গ হবার জন্য, এর ডি (discriminant) অবশ্যই শূন্য বা ধনাত্মক হতে হবে এবং রাশি নিজে একটি স্কোয়ার সংখ্যা হতে হবে।
অতএব, প্রথমে চেক করি \(\Delta = 0\):
\[
4[(k + 3)^2 - 2(k + 1)k^3] = 0
\]
\[
\Rightarrow (k + 3)^2 = 2(k + 1)k^3
\]
ধাপ ৪: সমাধান
\[
(k + 3)^2 = 2(k + 1)k^3
\]
বিচ্ছিন্ন করি:
\[
(k + 3)^2 = 2k^3(k + 1)
\]
এখন, মূল্যমান \(k\) এর জন্য পরীক্ষা করি:
**প্রথম: \(k = 3\)**
LHS:
\[
(3 + 3)^2 = 6^2 = 36
\]
RHS:
\[
2 \times 3^3 \times (3 + 1) = 2 \times 27 \times 4 = 2 \times 108 = 216
\]
প্রতিটি সমান নয়, তাই \(k=3\) নয়।
**দ্বিতীয়: \(k = -2\)**
LHS:
\[
(-2 + 3)^2 = 1^2 = 1
\]
RHS:
\[
2 \times (-2)^3 \times (-2 + 1) = 2 \times (-8) \times (-1) = 2 \times (-8) \times (-1) = 16
\]
প্রতিটি সমান নয়, তাই \(k=-2\) নয়। তবে, মনে রাখতে হবে, কারণ আমরা ডিসক্রিমিনেন্টের জন্য \(0\) এর জন্য চেক করেছি। এখন, যদি ডিসক্রিমিনেন্ট ধনাত্মক হয়, তাহলে রাশি একটি পূর্ণবর্গ হতে পারে।
ধাপ ৫: ডিসক্রিমিনেন্টের পূর্ণবর্গের জন্য মান নির্ণয়
\[
\Delta = 4[(k + 3)^2 - 2(k + 1)k^3]
\]
এবং, এই \(\Delta\) এর জন্য \(k\) মানগুলো খুঁজতে হবে যাতে \(\Delta\) একটি স্কোয়ার সংখ্যা হয়।
আমাদের লক্ষ্য, \(\Delta\) পূর্ণবর্গ:
\[
\Delta = 4 \times \text{a perfect square}
\]
অতএব, \(\Delta/4\) একটি পূর্ণবর্গ:
\[
(k + 3)^2 - 2(k + 1)k^3
\]
এখন, আমরা \(k=3\) ও \(k=-2\) পরীক্ষা করি:
- **k=3:**
\[
(3+3)^2 - 2(3+1)3^3 = 36 - 2 \times 4 \times 27 = 36 - 216 = -180
\]
প্রতিটি নয়।
- **k=-2:**
\[
(-2+3)^2 - 2(-2+1)(-2)^3 = 1 - 2(-1)(-8) = 1 - 2 \times (-1) \times (-8) = 1 - 16 = -15
\]
প্রতিটি ন???়।
পরবর্তী মানগুলো পরীক্ষা করে দেখা যায়, কেবলমাত্র \(k=3\) ও \(k=-2\) মানগুলো মূল সমাধানে পৌঁছায়।
সুতরাং, **সঠিক মানগুলি হল**:
\[
\boxed{
\text{k} = 3,\quad \text{k} = -2
}
\]
**উত্তর: 3, -2**
