d/dx{cos^-1(sinx)}নিচের কোনটি সঠিক ?

প্রশ্ন: \(\frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} (\sin x) \right)\) নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর: \(-1\)

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের ডিফারেনশিয়াল অপারেশনটি লিখি:

1. ধরা যাক, \(u = \sin x\)। তাহলে, আমাদের প্রকাশটি হবে:
\[ f(x) = \cos^{-1}(u) \]
2. তাহলে, ডিফারেনশিয়াল হবে:
\[ \frac{d}{dx} \cos^{-1}(u) = \frac{d}{du} \cos^{-1}(u) \times \frac{du}{dx} \]
3. আমাদের জানেন যে: \[ \frac{d}{du} \cos^{-1}(u) = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \] এবং, \[ \frac{du}{dx} = \cos x \]
4. অতএব, সমাধান হবে:
\[ \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} (\sin x) \right) = - \frac{1}{\sqrt{1 - (\sin x)^2}} \times \cos x \]
5. এখন, কারণ \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), তাই:
\[ \sqrt{1 - \sin^2 x} = |\cos x| \] অতএব, ডেরিভেটিভটি হবে: \[ - \frac{\cos x}{|\cos x|} = - \operatorname{sgn}(\cos x) \]

অতএব, ফলাফলটি হলো:

যদি প্রশ্নের উত্তর শুধুমাত্র নম্বর হিসেবে হয়, তবে এটি \(-1\) বা \(+1\) হতে পারে, নির্ভর করে \(\cos x\) এর চিহ্নের উপর।

যেহেতু প্রশ্নে উল্লেখ রয়েছে যে উত্তরটি \("-1"\), তাহলে সেটি তখনই সঠিক যখন \(\cos x > 0\) হয়।

সুতরাং, সমাধান অনুযায়ী, ডেরিভেটিভের মান \(-1\) হয়, যদি \(\cos x > 0\) হয়।