Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\sqrt{5} - 1\) হলে সমীকরণটি হবে?
ধরি, সমীকরণটি হলো:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
এর মূলগুলো হলো \(x_1\) এবং \(x_2\)। আমাদের জানা আছে:
\(x_1 = \sqrt{5} - 1\)
এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল ও গুণফল সম্পর্ক:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a}
\]
ধরা যাক, সমীকরণটি:
\[
x^2 + px + q = 0
\]
তাহলে,
\[
x_1 + x_2 = -p
\]
\[
x_1 x_2 = q
\]
এখন,
\[
x_1 + x_2 = (\sqrt{5} - 1) + x_2
\]
আমরা জানি, মূলগুলো নির্ণয় করতে হলে, অন্য মূলটি কি হবে তা জানা দরকার। তবে, আমরা চাচ্ছি এমন একটি সমীকরণ যেখানে একটি মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\)।
ধরা যাক, সমীকরণটি হলো:
\[
x^2 + px + q = 0
\]
এবং একটি মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) হলে, অন্য মূলের জন্য:
\[
x_2 = \text{অন্য মূল}
\]
আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
অথবা, মূলের যোগফল ও গুণফল দ??য়ে:
\[
x_1 + x_2 = -p
\]
\[
x_1 x_2 = q
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো এমন \(p\) ও \(q\) নির্ণয় করা যাতে একটি মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) হয়।
অতএব, সমীকরণটি হবে:
\[
x^2 + px + q = 0
\]
এবং, মূলগুলো হল:
\[
x_1 = \sqrt{5} - 1
\]
\[
x_2 = \text{অন্য মূল}
\]
আমরা চাই মূলগুলো নির্ণয় করে এমন সমীকরণ লেখা যেখানে মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) হয়।
এখন, মূলের যোগফল:
\[
x_1 + x_2 = -p
\]
এবং মূলের গুণফল:
\[
x_1 x_2 = q
\]
আমরা জানি, মূলের একটি হল \(\sqrt{5} - 1\)। অন্য মূল নির্ণয় করতে চাইলে, এমন সমীকরণ তৈরি করব যেখানে মূলগুলো হলো:
\[
x = \sqrt{5} - 1
\]
এবং অন্য মূল \(x_2\) হিসেবে, দ্বিগুণ মূলের যোগফল ও গুণফল থেকে নির্ণয় করব।
অতএব, সমাধান:
ধরা যাক, মূলগুলো হলো:
\[
x_1 = \sqrt{5} - 1
\]
\[
x_2 = \text{অন্য মূল}
\]
আমরা জানি, সমীকরণের মূলগুলো যদি \(x_1\) ও \(x_2\) হয়, তাহলে:
\[
x_1 + x_2 = -p
\]
\[
x_1 x_2 = q
\]
এখন, \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) থাকলে, \(x_2\) নির্ণয় করতে হবে। তবে, এখানে মূলের সংখ্যাগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য মানানসই হওয়া উচিত।
পরীক্ষা করি, সমীকরণ:
\[
x^2 + 2x - 4 = 0
\]
এর মূলগুলো নির্ণয় করি:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}
\]
\[
x = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}
\]
\[
x = -1 \pm \sqrt{5}
\]
অর্থাৎ, মূলগুলো হলো:
\[
x = -1 + \sqrt{5} \quad \text{অথবা} \quad x = -1 - \sqrt{5}
\]
এখন, প্রথম মূল:
\[
x = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1
\]
যা আমাদের দেয়া মূলের সঙ্গে একরকম।
অতএব, সমীকরণটি হলো:
\[
x^2 + 2x - 4 = 0
\]
যার একটি মূল \(\sqrt{5} - 1\)।
**উত্তর:** \(x^2 + 2x - 4 = 0\)
