a²x²+x+y+a²y²+b²=0 এর জ্যামিতিক পরিচয় হচ্ছে ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:
\(a^{2}x^{2} + x + y + a^{2} y^{2} + b^{2} = 0\) এর জ্যামিতিক পরিচয় কি?

উত্তর: "বৃত্ত"

সমাধান:

আমরা মূল সমীকরণটি লিখি:

\[ a^{2}x^{2} + a^{2} y^{2} + x + y + b^{2} = 0 \]

প্রথমে, সমীকরণটিকে দুটি ভিন্ন ভেরিয়েবলের জন্য পৃথক করে দেখি।

বিভাজন করি:

\[ a^{2} (x^{2} + y^{2}) + x + y + b^{2} = 0 \]

এখন, এই সমীকরণটি যদি বৃত্তের সমীকরণ হয়, তবে এটি সাধারণত হয়:

\[ (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} \]

আমরা চাই এই সমীকরণটি বৃত্তের সমীকরণের রূপে পৌঁছাতে।

অর্থাৎ, সমীকরণটিকে সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি।

প্রথমে, সমীকরণটি পুনঃসমন্বয় করি:

\[ a^{2}x^{2} + x + a^{2} y^{2} + y + b^{2} = 0 \]

অর্থাৎ, \[ a^{2} (x^{2}) + x + a^{2} (y^{2}) + y + b^{2} = 0 \]

এখন, প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য পৃথকভাবে সম্পূর্ণ বর্গের রূপ করি।

প্রথম, \(x\) এর জন্য:

\[ a^{2} x^{2} + x = a^{2} \left( x^{2} + \frac{x}{a^{2}} \right) \]

একটি সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, আমরা যোগ করি ও বাদ দিই:

\[ a^{2} \left( x^{2} + \frac{x}{a^{2}} \right) = a^{2} \left( x^{2} + \frac{x}{a^{2}} + \left( \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 - \left( \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 \right) \]

সুতরাং, \[ a^{2} \left( x + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 - a^{2} \left( \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 \] = \[ a^{2} \left( x + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 - \frac{1}{4a^{2}} \]

একইভাবে, \(y\) এর জন্য:

\[ a^{2} y^{2} + y = a^{2} \left( y^{2} + \frac{y}{a^{2}} \right) = a^{2} \left( y + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 - \frac{1}{4a^{2}} \]

অতএব, সমীকরণটি এখন হয়:

\[ a^{2} \left( x + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 - \frac{1}{4a^{2}} + a^{2} \left( y + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 - \frac{1}{4a^{2}} + b^{2} = 0 \]

সংযুক্ত করি সব টার্ম:

\[ a^{2} \left( x + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 + a^{2} \left( y + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 + b^{2} - \frac{1}{2a^{2}} = 0 \]

এখন, সমীকরণটি পুনরায় সাজাই:

\[ a^{2} \left[ \left( x + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 + \left( y + \frac{1}{2a^{2}} \right)^2 \right] = \frac{1}{2a^{2}} - b^{2} \]

এটি যদি একটি বৃত্তের সমীকরণ হয়, তবে এটি হবে:

\[ \left( X - h \right)^2 + \left( Y - k \right)^2 = r^2 \]

এখানে, আমরা লক্ষ্য করছি যে, যদি \(\frac{1}{2a^{2}} - b^{2} > 0\), তবে এটি একটি বাস্তব বৃত্তের সমীকরণ।

অর্থাৎ, সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যদি উপরের শর্ত পূরণ হয়।

সাধারণত, এই ধরণের সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত জ্যামিতিক অবজেক্ট হল "বৃত্ত"।

সুতরাং, প্রশ্নের উত্তর:

উত্তর: এই সমীকরণটির জ্যামিতিক পরিচয় হলো "বৃত্ত".