Another Explanation (5):
লিনিয়ার প্রোগ্রামটির সমাধান:
প্রশ্নে উল্লেখিত লক্ষ্য হল:
Maximize \( Z = 3x + 4y \)
শর্তসমূহ:
\( x + y \leq 7 \)
\( 2x + y \leq 20 \)
\( x \geq 0 \)
\( y \geq 0 \)
ধাপ ১: সীমা রেখাগুলির ইন্টারেকশন নির্ণয়
প্রথমে সীমা রেখাগুলির সমাধান করি:
1. \( x + y = 7 \)
2. \( 2x + y = 20 \)
সমাধান করিঃ
\[
\begin{cases}
x + y = 7 \\
2x + y = 20
\end{cases}
\]
বিয়োগ করি:
\[
(2x + y) - (x + y) = 20 - 7 \Rightarrow x = 13
\]
\( x = 13 \) রাখি প্রথম সমীকরণে:
\[
13 + y = 7 \Rightarrow y = -6
\]
যেহেতু \( y \geq 0 \), এই বিন্দুটি বৈধ নয়। তাই, সীমা রেখাগুলির ইন্টারেকশন অবৈধ।
এখন, সীমা রেখাগুলির উপর বিন্দুগুলি নির্ণয় করি যেখানে শর্তগুলো পূরণ হয়।
---
ধাপ ২: সীমা রেখাগুলির অক্ষরেখা বিন্দুগুলি নির্ণয়
**বিন্দু ১:** \( x = 0 \)
\( y \leq 7 \) (কারণ \( x + y \leq 7 \))
\( 2(0) + y \leq 20 \Rightarrow y \leq 20 \)
সর্বনিম্ন সীমা: \( y = 0 \) থেকে \( y = 7 \)
বিন্দু: \( (0,0) \) ও \( (0,7) \)
**বিন্দু ২:** \( y = 0 \)
\( x \leq 7 \) (কারণ \( x + 0 \leq 7 \))
\( 2x + 0 \leq 20 \Rightarrow x \leq 10 \)
সর্বনিম্ন সীমা: \( x = 0 \) থেকে \( x = 7 \)
বিন্দু: \( (0,0) \) ও \( (7,0) \)
**বিন্দু ৩:** সীমা রেখাগুলির ইন্টারেকশনের জন্য, \( x + y = 7 \) ও \( 2x + y = 20 \)
- প্রথম রেখা: \( y = 7 - x \)
- দ্বিতীয় রেখা: \( y = 20 - 2x \)
সমান করে:
\[
7 - x = 20 - 2x \Rightarrow x = 13
\]
তাহলে, \( y = 7 - 13 = -6 \), যা বৈধ নয়। অতএব, এই বিন্দুটি বৈধ নয়।
---
ধাপ ৩: সম্ভাব্য কোণে বিন্দুগুলি নির্ণয় ও মূল্যায়ন
বিন্দুগুলিঃ
- \( (0,0) \)
- \( (0,7) \)
- \( (7,0) \)
এখন, এই বিন্দুগুলিতে \( Z \) এর মান নির্ণয় করি:
1. \( (0,0) \):
\[
Z = 3(0) + 4(0) = 0
\]
2. \( (0,7) \):
\[
Z = 3(0) + 4(7) = 28
\]
3. \( (7,0) \):
\[
Z = 3(7) + 4(0) = 21
\]
অতএব, সর্বোচ্চ মান \( Z = 28 \) ঘটে বিন্দু \( (0,7) \) এ।
---
উপসংহার:
অতএব, লক্ষ্য ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \( Z = 28 \), যা হয় at \( (x, y) = (0, 7) \)।
**তাই, উত্তর হল:**
(0, 7)
