Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা জানি,
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করে পাই,
\( 1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2} \)
সুতরাং,
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \)
এখন,
\( \frac{x}{2} = u \) ধরি। সুতরাং,
\( x = 2u \) এবং
\( x \to 0 \) হলে
\( u \to 0 \) হবে।
তাহলে,
\( \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2} \)
\( = \lim_{u \to 0} \frac{2\sin^2 u}{4u^2} \)
\( = \frac{2}{4} \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} \)
\( = \frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 \)
আমরা জানি,
\( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \)
সুতরাং,
\( \frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2} \)
অতএব,
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \) 🥳
উত্তর:
1/2
