\( y^2 - 4y - x^2 + 6x = 12 \) সমীকরণটি কোন ধরনের কণিক?

Another Explanation (5):

সমীকরণ: \( y^2 - 4y - x^2 + 6x = 12 \)

প্রথমে, আমরা সমীকরণটিকে মানসম্মত ফর্মে রূপান্তর করব।

ধাপ ১: পৃথক পৃথকভাবে \( y \) এবং \( x \) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গ সম্পন্ন করব।

প্রথম, \( y \) এর জন্য:

\[ y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4 \]

এবং, \( x \) এর জন্য:

\[ -x^2 + 6x = - (x^2 - 6x) = - [ (x^2 - 6x + 9) - 9 ] = - (x - 3)^2 + 9 \]

ধাপ ২: সমীকরণে এই মানগুলো বসাবো:

\[ (y - 2)^2 - 4 - (x - 3)^2 + 9 = 12 \]

ধাপ ৩: সমীকরণটি সরলীকরণ করুন:

\[ (y - 2)^2 - (x - 3)^2 + 5 = 12 \] \[ (y - 2)^2 - (x - 3)^2 = 12 - 5 \] \[ (y - 2)^2 - (x - 3)^2 = 7 \]

উপসংহার:

সমীকরণটি হল: \[ (y - 2)^2 - (x - 3)^2 = 7 \] এটি একটি কনিকা সমীকরণ যা মূলত একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)। কারণ, এটি \( (Y)^2 - (X)^2 = \text{constant} \) এর রূপে রয়েছে, যেখানে \(Y = y - 2\) এবং \(X = x - 3\)।