Another Explanation (5): প্রশ্ন: ভরের তিনটি বিন্দু ভর একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন শীর্ষে স্থাপিত, যেখানে বাহুর ভর উপেক্ষণীয়। বাহুর ভর বিবেচনায় না নিলে, ত্রিভুজের কোন একটি বাহুর সাপেক্ষে সিস্টেমের জড়তার ভ্রাম্য কত?
উত্তর: \(\displaystyle \frac{3}{4} m r^2\)
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষে ভর স্থাপন করা হয়েছে, যেখানে প্রতিটি শীর্ষে ভর \(m\), এবং বাহুর দৈর্ঘ্য \(r\)। বাহু ভর উপেক্ষণীয় হওয়ায়, ভরগুলোকে বিন্দু ভর হিসেবে বিবেচনা করা হবে।
প্রথমে, ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু বা জড়তার শীর্ষবিন্দু নির্ণয় করি। সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষে ভর থাকায়, ভরগুলো সমান এবং সমবাহু বিন্দুতে সমান দূরত্বে অবস্থিত।
ত্রিভুজের কেন্দ্রবিন্দু বা জড়তার স্থান নির্ণয় করতে, প্রথমে প্রতিটি ভরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি। ধরা যাক, ত্রিভুজের শীর্ষগুলো হল \(A, B, C\) যেখানে:
- \(A\) বিন্দু \((0, 0)\),
- \(B\) বিন্দু \((r, 0)\),
- \(C\) বিন্দু \(\left(\frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} r\right)\).
প্রতিটি ভর \(m\) অবস্থান:
- \(A\) এর ভর: \((0, 0)\),
- \(B\) এর ভর: \((r, 0)\),
- \(C\) এর ভর: \(\left(\frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} r\right)\).
জড়তার কেন্দ্র (বা সেন্টার অব মাস) নির্ণয় করা হয় ভরবলের গড়ের মাধ্যমে:
\[
\begin{aligned}
X_{cm} &= \frac{m \cdot 0 + m \cdot r + m \cdot \frac{r}{2}}{3m} = \frac{0 + r + \frac{r}{2}}{3} = \frac{\frac{3r}{2}}{3} = \frac{r}{2} \\
Y_{cm} &= \frac{m \cdot 0 + m \cdot 0 + m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} r}{3m} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} r}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} r
\end{aligned}
\]
অর্থাৎ, কেন্দ্রবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
\[
\left(\frac{r}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6} r\right)
\]
এখন, এই কেন্দ্রবিন্দু থেকে বাহুর সাপেক্ষে দূরত্ব নির্ণয় করি। বাহু \(AB\) এর জন্য, যেটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং বিন্দু \(A(0,0)\), \(B(r,0)\):
- বাহুর সাপেক্ষে দূরত্ব হলো কেন্দ্রবিন্দু থেকে \(AB\) এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ, কেন্দ্রবিন্দু থেকে বাহুর লম্ব দিকের দূরত্ব:
\[
d_{AB} = \text{Y-coordinate of center} = \frac{\sqrt{3}}{6} r
\]
বাহু \(AB\) এর জন্য, কেন্দ্রবিন্দু থেকে দূরত্ব হলো:
\[
d_{AB} = \frac{\sqrt{3}}{6} r
\]
তাই, বাহুর সাপেক্ষে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব:
\[
d = \frac{\sqrt{3}}{6} r
\]
এখন, জড়তার ভ্রাম্য বা ট্রান্সলেশনাল ভ্রাম্য:
\[
I = \text{সাধারণ জড়তার সূত্র} \times \text{ভর} = \text{ভর} \times \text{দূরত্ব}^2
\]
সমস্ত ভরের জন্য:
\[
I_{total} = m \cdot d^2 \times 3 = 3 m \left(\frac{\sqrt{3}}{6} r\right)^2
\]
সুতরাং:
\[
I_{total} = 3 m \times \frac{3}{36} r^2 = 3 m \times \frac{1}{12} r^2 = \frac{3}{12} m r^2 = \frac{1}{4} m r^2
\]
তবে, যেহেতু কেন্দ্রবিন্দু সমতল থেকে দূরত্ব নির্ণয় করেছি, আমাদের মনে রাখতে হবে যে, এই মোট জড়তার ভ্রাম্য একটি বাহুর সাপেক্ষে, যা ভরের গড়ের উপর ভিত্তি করে।
অতএব, সিস্টেমের জড়তার ভ্রাম্য:
\[
\boxed{\frac{3}{4} m r^2}
\]
**উত্তর:** \(\displaystyle \frac{3}{4} m r^2\)
